《2025年综合应用创新题典中点八年级数学上册北师大版》

1. [2025 周口期中] 在式子$\sqrt{\frac{x}{2}}(x＞0),\sqrt{2},\sqrt{y + 1}(y = - 2),\sqrt{-2x}(x ＜ 0),3,\sqrt{x^{2}+1},x + y$中,二次根式有(C)
A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 5个

答案： C

2. 若式子$\sqrt{2m - 3}$有意义,则m的取值范围是(C)
A. $m\leqslant\frac{2}{3}$
B. $m\geqslant-\frac{3}{2}$
C. $m\geqslant\frac{3}{2}$
D. $m\leqslant-\frac{2}{3}$

答案： C

3. 等式“(A)$÷\sqrt{18}= \sqrt{2}$”中,括号内应填入( )
A. 6
B. 3
C. $3\sqrt{2}$
D. $\sqrt{6}$

答案： A

4. [2025重庆万州区期末] 估计$\sqrt{8}(\sqrt{3}-\sqrt{2})$的值应在(A)
A. 0和1之间
B. 1和2之间
C. 2和3之间
D. 3和4之间

答案： A

5. 新视角 结论开放题 若一个无理数a与$\sqrt{8}$的积是一个有理数,写出a的一个值是$\sqrt{2}$（答案不唯一）。

答案： $\sqrt{2}$（答案不唯一）

6. 新考向 传统文化 庐山云雾茶历史悠久,是中国名茶系列之一。如图是庐山云雾茶的一种包装铁盒,若其内部底面半径为$2\sqrt{5}cm$,深$6\sqrt{2}cm$,则其容积为$120\sqrt{2}\pi$$cm^{3}$(结果保留根号和π)。

答案： $120\sqrt{2}\pi$

7. 母题 教材P42例2 计算：
(1)$\frac{1}{3}\sqrt{27}×\frac{1}{2}\sqrt{12}$；
(2)$\frac{\sqrt{2}×\sqrt{6}}{\sqrt{3}}-1$；
(3)$\sqrt{\frac{b}{5}}÷\sqrt{\frac{b}{20a^{2}}}(a＞0,b＞0)$；
(4)$(\sqrt{5}-\sqrt{3})^{2}(8 + 2\sqrt{15})$。

答案： 【解】
(1) 原式$=\sqrt{3}\times\sqrt{3}=3$。
(2) 原式$=\sqrt{2\times6\div3}-1=\sqrt{4}-1=1$。
(3) 原式$=\sqrt{\frac{b}{5}\cdot\frac{20a^{2}}{b}}=\sqrt{4a^{2}}=2a$。
(4) 原式$=[(\sqrt{5})^{2}+(\sqrt{3})^{2}-2\times\sqrt{5}\times\sqrt{3}](8+2\sqrt{15})$
$=(8-2\sqrt{15})(8+2\sqrt{15})$
$=64-60=4$。

8. 如果$\sqrt{3}\cdot\sqrt{\frac{6}{x}}$是整数,那么整数x是(C)
A. 6或3
B. 3或1
C. 2或18
D. 18

答案： C

9. 新考法 数形结合法 如图,数轴上有O,A,B,C,D五个点,根据图中各点所表示的数,则表示数$\sqrt{2}×\sqrt{12}-2$的点会落在(B)

A. 点O和点A之间
B. 点A和点B之间
C. 点B和点C之间
D. 点C和点D之间

答案： B

10. 问题探究：因为$(\sqrt{2}-1)^{2}= 3 - 2\sqrt{2}$,所以$\sqrt{3 - 2\sqrt{2}}= \sqrt{2}-1$。因为$(\sqrt{2}+1)^{2}= 3 + 2\sqrt{2}$,所以$\sqrt{3 + 2\sqrt{2}}= \sqrt{2}+1$。请你根据以上规律,结合你的经验化简$\sqrt{4 - 2\sqrt{3}}= $$\sqrt{3}-1$。

答案： $\sqrt{3}-1$

11. 新趋势 跨学科综合 已知一个长方体木块放在水平的桌面上,木块的长、宽、高分别是$\sqrt{a},\sqrt{b},\sqrt{c}(a＞b＞c＞0)$,若木块对桌面的最大压强为$p_{1}$,最小压强为$p_{2}$,则$\frac{p_{1}}{p_{2}}$的值等于$\frac{\sqrt{ac}}{c}$。

答案： $\frac{\sqrt{ac}}{c}$