《2025年综合应用创新题典中点八年级数学上册北师大版》

8. 某生物小组观察一植物生长,得到植物高度$y$(单位：厘米)与观察时间$x$(单位：天)之间的关系,并画出如图所示的图象(AC是线段,射线CD平行于$x$轴)。从第50天开始植物的高度不变,该植物最高为16厘米。

答案： 8. 50；16 【点拨】因为 $ CD // x $ 轴，所以从第 50 天开始植物的高度不变。设线段 AC 的表达式为 $ y = kx + b(k \neq 0, 0 \leq x \leq 50) $。因为 $ A(0,6) $，$ B(30,12) $，所以 $ b = 6 $，$ 30k + b = 12 $，解得 $ k = \frac{1}{5} $。所以线段 AC 的表达式为 $ y = \frac{1}{5}x + 6(0 \leq x \leq 50) $。当 $ x = 50 $ 时，$ y = \frac{1}{5} × 50 + 6 = 16 $。所以该植物最高为 16 厘米。

9. 某公司开发出一款新的节能产品,该产品的成本价为6元/件,该产品在正式投放市场前通过代销点进行了为期一个月(30天)的试销售,售价为8元/件,如图,折线ODE表示日销售量$y$(件)与销售时间$x$(天)之间的函数关系,已知线段DE表示的函数关系中时间每增加1天,日销售量减少5件。
(1)第17天的日销售量是340件,日销售利润是680元；
(2)求试销售期间日销售利润的最大值。

答案： 【解】
(1)340；680
(2)因为直线 OD 过点 $ (17,340) $，所以易得直线 OD 的表达式为 $ y = 20x $。设直线 DE 的表达式为 $ y = -5x + b $，将 $ (22,340) $ 代入 $ y = -5x + b $，解得 $ b = 450 $。所以直线 DE 的表达式为 $ y = -5x + 450 $。令 $ -5x + 450 = 20x $，解得 $ x = 18 $。在 $ y = 20x $ 中，当 $ x = 18 $ 时，$ y = 360 $。所以折线 ODE 的最高点 D 的坐标为 $ (18,360) $。$ 360 \times (8 - 6) = 720 $（元）。所以当 $ x = 18 $ 时，日销售利润最大，最大利润为 720 元。

10. [2025南昌月考]如图,四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的正方形纸片,点O与坐标原点重合,点A在$x$轴上,点C在$y$轴上,$OC = 10$,点E在边BC上,点N的坐标为$(6,0)$,过点N且平行于$y$轴的直线MN与EB交于点M。现将纸片折叠,使顶点C落在MN上,并与MN上的点G重合,折痕为OE。
(1)求点G的坐标,并求直线OG的表达式；
(2)若直线$l:y = mx + n(n≠0)$平行于直线OG,且与长方形ABMN有公共点,求$n$的取值范围；
(3)设点P为$x$轴上的点,是否存在这样的点P,使得以P,O,G为顶点的三角形为等腰三角形？若存在,请求出点P的坐标；若不存在,请说明理由。
(1)点G的坐标为(6,8)，直线OG的表达式为$y = \frac{4}{3}x$；
(2)$n$的取值范围为$ -\frac{40}{3} \leq n \leq 2 $且$n \neq 0 $；
(3)存在，点P的坐标为(10,0)或(-10,0)或(12,0)或$(\frac{25}{3},0)$。

答案： 【解】
(1)由折叠的性质可知，$ OG = OC = 10 $，因为 MN 平行于 $ y $ 轴，所以 $ MN \perp OA $。所以由勾股定理得，$ GN = \sqrt{OG^2 - ON^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8 $。所以点 G 的坐标为 $ (6,8) $。设直线 OG 的表达式为 $ y = kx $，将 $ G(6,8) $ 的坐标代入 $ y = kx $，得 $ k = \frac{4}{3} $，所以直线 OG 的表达式为 $ y = \frac{4}{3}x $。
(2)因为直线 $ l:y = mx + n(n \neq 0) $ 平行于直线 OG，所以 $ m = \frac{4}{3} $，即直线 $ l $ 的表达式为 $ y = \frac{4}{3}x + n $。由题易得 $ M(6,10) $，$ A(10,0) $。当直线 $ l $ 经过点 $ M(6,10) $ 时，解得 $ n = 2 $，当直线 $ l $ 经过点 $ A(10,0) $ 时，解得 $ n = -\frac{40}{3} $，所以直线 $ l $ 与长方形 ABMN 有公共点时，$ -\frac{40}{3} \leq n \leq 2 $ 且 $ n \neq 0 $。
(3)存在。
①当 $ OP = OG = 10 $ 时，若点 P 在原点左侧，点 P 的坐标为 $ (-10,0) $，若点 P 在原点右侧，点 P 的坐标为 $ (10,0) $；
②当 $ GP = GO $ 时，因为 $ GN \perp OP $，所以 $ NP = NO = 6 $，所以 $ OP = 12 $，所以点 P 的坐标为 $ (12,0) $；
③当 $ PO = PG $ 时，可得 $ PN = OP - ON = OP - 6 $，在 $ Rt \triangle GPN $ 中，$ PG^2 = GN^2 + PN^2 $，即 $ OP^2 = 8^2 + (OP - 6)^2 $，解得 $ OP = \frac{25}{3} $，所以点 P 的坐标为 $ (\frac{25}{3},0) $。
综上所述，以 P，O，G 为顶点的三角形为等腰三角形时，点 P 的坐标为 $ (10,0) $ 或 $ (-10,0) $ 或 $ (12,0) $ 或 $ (\frac{25}{3},0) $。