《2025年综合应用创新题典中点八年级数学上册北师大版》

1. 下列说法中正确的是 (C)
A. 已知$a,b,c$是三角形的三边,则$a^{2}+b^{2}= c^{2}$
B. 在直角三角形中,两边和的平方等于第三边的平方
C. 在$Rt\triangle ABC$中,$∠C= 90^{\circ },a,b,c是∠A$,$∠B$,$∠C$的对边,所以$a^{2}+b^{2}= c^{2}$
D. 在$Rt\triangle ABC$中,$∠B= 90^{\circ },a,b,c是∠A$,$∠B$,$∠C$的对边,所以$a^{2}+b^{2}= c^{2}$

答案： 1.C

2. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$∠C= 90^{\circ },AC= 8$,$BC= 6$,分别以点$A$,$B$为圆心,以$AB$长为半径画弧,两弧相交于点$D$,连接$AD$,$BD$,则$\triangle ABD$的周长为 (D)

A. 14
B. 18
C. 24
D. 30

答案： 2.D

3. 如图是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,若正方形$A$,$B$,$C$,$D$的面积分别是4,6,2,4,则正方形$E$的面积是 (C)

A. 12
B. 14
C. 16
D. 18

答案： 3.C

4. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC= 10$,$BC= 12$,则$AC边上的高BD$的长为 ( )

A. 8
B. 8.8
C. 9.6
D. 10

答案：
1.C 【点拨】如图，过点A作AE⊥BC于点E.因为AB=AC，AE⊥BC，所以EB=EC=$\frac{1}{2}$CB=6.在Rt△ABE中，$AE^{2}=AB^{2}-BE^{2}=10^{2}-6^{2}=64$，所以AE=8.因为$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AE=\frac{1}{2}AC\cdot BD$，所以$\frac{1}{2}\times12\times8=\frac{1}{2}\times10\times BD$，
解得BD=9.6.故选C;

5. 如图是两人某次棋局棋盘上的一部分,若棋盘中每个小正方形的边长为4cm,则“帅”“马”两棋子所在格点之间的距离为20cm.

答案： 2.20cm

6. 如图,四边形$ABCD$中,$AD⊥AB$,$BD⊥CD$,$AD= 3$,$AB= 4$,$BC= 13$,求四边形$ABCD$的面积.

36

答案： 3.【解】因为AD⊥AB，BD⊥CD，所以∠A=∠BDC=90°.因为AB=4，AD=3，所以根据勾股定理得BD=5.
又因为CB=13，所以根据勾股定理得CD=12，所以$S_{四边形ABCD}=S_{\triangle ABD}+S_{\triangle BCD}=\frac{1}{2}×3×4+\frac{1}{2}×12×5=36$.

7. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$∠ABC= 90^{\circ }$,分别以$AC$,$AB$为直径向外作两个半圆,面积分别记为$S_{1}和S_{2}$. 在$Rt\triangle BCD$中,$∠BCD= 90^{\circ }$,分别以$BD$,$CD$为边向外作两个正方形,面积分别记为$S_{3}和S_{4}$. 若$S_{1}-S_{2}= 2π$,$S_{3}= 41$,则$S_{4}$的值为 (25)
A. 5
B. 15
C. 20
D. 25

答案： 4.D 【点拨】在Rt△ABC中，∠ABC=90°，所以$AB^{2}+BC^{2}=AC^{2}$，所以$S_{2}+\frac{1}{2}\pi(\frac{1}{2}BC)^{2}=S_{1}$，所以$S_{1}-S_{2}=\frac{1}{8}\pi\cdot BC^{2}$.因为$S_{1}-S_{2}=2\pi$，所以$2\pi=\frac{1}{8}\pi\cdot BC^{2}$.所以$BC^{2}=16$.在Rt△BCD中，∠BCD=90°，所以$BC^{2}+CD^{2}=BD^{2}$，所以$S_{4}=S_{3}-BC^{2}=41-16=25$.

8. 在$\triangle ABC$中,$AB= AC= 5$,$P是BC上异于B$,$C$的一点,则$AP^{2}+BP\cdot PC$的值是( )
A. 15
B. 25
C. 30
D. 20

答案：
5.B 【点拨】如图，过点A作AD⊥BC于D，所以∠ADP=∠ADB=90°，因为AB=AC=5，所以BD=CD，$PA^{2}=PD^{2}+AD^{2}$，$AD^{2}+BD^{2}=AB^{2}$，所以$AP^{2}+PB\cdot PC=AP^{2}+(BD+PD)(CD - PD)=AP^{2}+(BD+PD)(BD - PD)=AP^{2}+BD^{2}-PD^{2}=AP^{2}-PD^{2}+BD^{2}=AD^{2}+BD^{2}=AB^{2}=25$.

9. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$∠ACB= 90^{\circ }$,$AC= 6$,$BC= 8$,点$D在边BC$上,把$\triangle ABC沿直线AD$折叠,使得点$B的对应点B'落在AC$的延长线上,则$CD= $______3.

答案： 6.3 【点拨】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，所以$AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}=6^{2}+8^{2}=10^{2}$.所以AB=10.由折叠得，BD=B'D，AB'=AB=10，所以B'C=AB'-AC=10 - 6=4.设CD=x，则BD=B'D=8 - x.在Rt△DB'C中，$CD^{2}+CB'^{2}=DB'^{2}$，即$x^{2}+4^{2}=(8 - x)^{2}$，解得x=3，所以CD=3.

13. 【阅读理解】
定义：我们把三角形某边上高的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形这条边的“中偏度值”,例如：图①中,$AD和AE分别为\triangle ABC的边BC$上的高和中线,$AD= 10$,$DE= 5$,则$\triangle ABC的边BC$的“中偏度值”为$\frac {10}{5}= 2$.
【尝试应用】
(1)如图②,在$Rt\triangle ABC$中,$∠BAC= 90^{\circ }$,$AB= 40$,$AC= 30$,求$\triangle ABC的边BC$的“中偏度值”；
【拓展延伸】
(2)如图③,点$A为直线l$上方一点,点$A到直线l的距离AD= 12$,点$B在直线l$上,且$AB= 15$,若点$C在直线l$上,且$AC= 13$,求$\triangle ABC的边BC$的“中偏度值”.

答案：
10.【解】
(1)作Rt△ABC的中线AE，高线AD，如图.
因为∠BAC=90°，AB=40，AC=30，所以由勾股定理易得BC=50.
因为$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot AB=\frac{1}{2}BC\cdot AD$，
所以$\frac{1}{2}\times30\times40=\frac{1}{2}\times50\times AD$，
所以AD=24，所以由勾股定理易得BD=32.
因为AE为边BC上的中线，
所以$BE=\frac{1}{2}BC=25$，

所以ED=BD - BE=32 - 25=7，
所以△ABC的边BC的“中偏度值”为$\frac{24}{7}$.
(2)①当AC在△ABD外部时，作△ACB的中线AE.
在Rt△ADB中，由勾股定理易得BD=9，在Rt△ACD中，由勾股定理易得CD=5，所以BC=BD+CD=14.因为AE为△ABC的中线，所以$CE=\frac{1}{2}BC=7$，
所以ED=CE - CD=7 - 5=2，
所以△ABC的边BC的“中偏度值”为$\frac{12}{2}=6$；
②当AC在△ABD内部时，作△ACB的中线AE.
同①知CD=5，BD=9，所以BC=BD - CD=4.
因为AE为△ABC的中线，
所以$CE=\frac{1}{2}BC=2$，所以ED=CE+CD=2+5=7，所以△ABC的边BC的“中偏度值”为$\frac{12}{7}$.
综上所述，△ABC的边BC的“中偏度值”为6或$\frac{12}{7}$.