《2025年综合应用创新题典中点八年级数学上册北师大版》

15. (8分)计算：$\sqrt{\frac{1}{9}} - \sqrt[3]{\frac{26}{27} - 1} + |\sqrt{3} - 2| - (- 2)^2 + 2\sqrt{3}$.

答案： 【解】原式$=\dfrac {1}{3}+\dfrac {1}{3}+2-\sqrt {3}-4+2\sqrt {3}=\sqrt {3}-\dfrac {4}{3}$．

16. (8分)已知实数$a,b$互为相反数,$c,d$互为倒数,$x的绝对值为\sqrt{3}$,求式子$x^2 + (a + b + cd)x + \sqrt{a + b} + \sqrt[3]{cd}$的值.

答案： 【解】因为$a$，$b$互为相反数，$c$，$d$互为倒数，$x$的绝对值为$\sqrt {3}$，所以$a+b=0$，$cd=1$，$x=\pm \sqrt {3}$．
当$x=\sqrt {3}$时，原式$=3+(0+1)\times \sqrt {3}+0+1=4+\sqrt {3}$；
当$x=-\sqrt {3}$时，原式$=3+(0+1)\times (-\sqrt {3})+0+1=4-\sqrt {3}$．

17. (12分)新考法 过程辨析法 先化简,再求值：$a + \sqrt{1 - 2a + a^2}$,其中$a = 1007$.下面是小亮和小芳的解答过程.

解：原式$= a + \sqrt{(1 - a)^2}$
$= a + 1 - a = 1$.
小亮
解：原式$= a + \sqrt{(1 - a)^2}$
$= a + a - 1 = 2013$.
小芳
(1)小亮的解法是错误的；
(2)错误的原因在于未能正确地运用性质：$\sqrt{a^2}=-a(a<0)$；
(3)先化简,再求值：$a + 2\sqrt{a^2 - 6a + 9}$,其中$a = - 2026$.
解：原式$=a+2\sqrt{(a-3)^2}$
$=-2026+2\sqrt{(-2026-3)^2}$
因为$-2026-3<0$，所以原式$=-2026-2×(-2026-3)$
$=-2026+4052+6$
$=2032$

答案： 【解】（1）小亮 【点拨】当$a=1\ 007$时，原式$=a+\sqrt {(1-a)^{2}}=1\ 007+\sqrt {(1-1\ 007)^{2}}$．因为$1-1\ 007＜0$，所以原式$=1\ 007-(1-1\ 007)=1\ 007-1+1\ 007=2\ 013$，所以小亮的解法是错误的．
（2）$\sqrt {a^{2}}=-a(a＜0)$
（3）当$a=-2\ 026$时，原式$=a+2\sqrt {(a-3)^{2}}=-2\ 026+2\sqrt {(-2\ 026-3)^{2}}$．因为$-2\ 026-3＜0$，所以原式$=-2\ 026-2\times (-2\ 026-3)=-2\ 026+4\ 052+6=2\ 032$．

18. (12分)阅读下面的文字,解答问题：大家知道$\sqrt{2}$是无理数,而无理数是无限不循环小数,因此$\sqrt{2}$的小数部分我们不可能全部写出来.将这个数减去其整数部分,差就是小数部分,因为$\sqrt{2}$的整数部分是1,所以用$\sqrt{2} - 1来表示\sqrt{2}$的小数部分.
例如：因为$\sqrt{4} ＜ \sqrt{6} ＜ \sqrt{9}$,即$2 ＜ \sqrt{6} ＜ 3$,所以$\sqrt{6}$的整数部分是2,小数部分为$\sqrt{6} - 2$.
(1)$\sqrt{23}$的整数部分是______4,小数部分是______$\sqrt{23}-4$.
(2)点$A$表示的数为无理数,在数轴上的位置如图所示,若其整数部分为$m$,小数部分为$n$,则下列对于$m,n$的说法正确的是(②④).(填序号)
①$m,n$均为有理数；②$1 ＜ \sqrt{m} ＜ 2$；③$3 ＜ m - n ＜ 4$；④$3 ＜ m + n ＜ 4$.

(3)若$p,q分别是6 - \sqrt{5}$的整数部分和小数部分,求$3p - q - \sqrt{5}$的值.6

答案： 【解】（1）$4$；$\sqrt {23}-4$
（2）②④ 【点拨】设点$A$所表示的无理数为$a$，由题意可知，$3\lt a＜4$，所以点$A$所表示的无理数$a$的整数部分$m=3$，小数部分$n=a-3$，因此①$m$，$n$均为有理数，不正确；②由于$1＜\sqrt {3}＜2$，即$1＜\sqrt {m}＜2$，因此②正确；③因为$3\lt a＜4$，而$m-n=3-a+3=6-a$，所以$2\lt m-n＜3$，因此③不正确；④因为$3\lt a＜4$，而$m+n=3+a-3=a$，所以$3\lt m+n＜4$，因此④正确．综上所述，正确的是②④．
（3）因为$\sqrt {4}＜\sqrt {5}＜\sqrt {9}$，即$2＜\sqrt {5}＜3$，所以$-3＜-\sqrt {5}＜-2$，所以$3＜6-\sqrt {5}＜4$，所以$6-\sqrt {5}$的整数部分$p=3$，小数部分$q=6-\sqrt {5}-3=3-\sqrt {5}$，所以$3p-q-\sqrt {5}=9-(3-\sqrt {5})-\sqrt {5}=6$．