《2025年综合应用创新题典中点八年级数学上册北师大版》

6. 《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去本四尺,问折者高几何? 题意是:一根竹子原高1丈(如图,1丈= 10尺),一阵风将竹子折断,竹稍抵地处离竹根4尺,试问折断处离地面多高? 则折断处离地面的高度为(C)

A. 4.55尺
B. 5.45尺
C. 4.2尺
D. 5.8尺

答案： C

7. 新考向 数学文化《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一,其中记载了这样一个问题:“今有立木,系索其末,委地三尺,引索却行,去本八尺而索尽.问索长几何?”译文:今有一竖立着的木柱(如图),在木柱的上端系有绳索,绳索从木柱上端顺木柱下垂后,堆在地面的部分尚有3尺.牵着绳索退行,在距木柱底部8尺处时绳索用尽(绳索头与地面接触).问绳索长是多少尺?

【解】设绳索 $ AC $ 的长为 $ x $ 尺，则木柱 $ AB $ 的长为 $ ( x - 3 ) $ 尺。
在 $ \mathrm { Rt } \triangle A B C $ 中，由勾股定理得 $ A C ^ { 2 } - A B ^ { 2 } = B C ^ { 2 } $，
即 $ x ^ { 2 } - ( x - 3 ) ^ { 2 } = 8 ^ { 2 } $，解得 $ x = $$\frac { 73 } { 6 }$。
所以绳索 $ AC $ 的长是$\frac { 73 } { 6 }$尺。

答案： 【解】设绳索 $ AC $ 的长为 $ x $ 尺，则木柱 $ AB $ 的长为 $ ( x - 3 ) $ 尺。
在 $ \mathrm { Rt } \triangle A B C $ 中，由勾股定理得 $ A C ^ { 2 } - A B ^ { 2 } = B C ^ { 2 } $，
即 $ x ^ { 2 } - ( x - 3 ) ^ { 2 } = 8 ^ { 2 } $，解得 $ x = \frac { 73 } { 6 } $。
所以绳索 $ AC $ 的长是 $ \frac { 73 } { 6 } $ 尺。

8. 如图,一个底面直径为8cm的杯子,在它的正中间竖直放一根筷子,筷子露出杯子外1cm,当筷子倒向杯壁时(筷子底端不动),筷子顶端刚好触到杯口,则筷子长度为8.5cm.

答案： 8.5

9. 母题 教材 P13例《九章算术》卷九“勾股”中记载:今有池方一丈,葭生其中央,出水一尺.引葭赴岸,适与岸齐,问水深、葭长各几何? 大意是:如图,水池底面的宽$AB= 1$丈,芦苇$OC生长在AB的中点O$处,高出水面的部分$CD= 1$尺.将芦苇向池岸牵引,尖端达到岸边时恰好与水面平齐,即$OC= OE$,求水池的深度和芦苇的长度(1丈等于10尺).
(1)水池的深度$OD$为____12____尺;
(2)中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时,更进一步地给出了这类问题的一般解法.他的解法用现代符号语言可以表示为:若已知水池宽$AB= 2a$,芦苇高出水面的部分$CD= n(n＜a)$,则水池的深度$OD(OD= b)可以通过公式b= \frac {a^{2}-n^{2}}{2n}$计算得到.请说明刘徽解法的正确性.

答案： 【解】
(1) 12
(2) 因为 $ O D = b $，$ C D = n $，$ A B = 2 a $，$ O $ 为 $ A B $ 的中点，
所以 $ O C = O E = b + n $，$ D E = O A = a $。
在 $ \mathrm { Rt } \triangle O D E $ 中，由勾股定理得 $ D E ^ { 2 } + O D ^ { 2 } = O E ^ { 2 } $，
即 $ a ^ { 2 } + b ^ { 2 } = ( b + n ) ^ { 2 } $，解得 $ b = \frac { a ^ { 2 } - n ^ { 2 } } { 2 n } $。