《2025年综合应用创新题典中点八年级数学上册北师大版》

10. 已知数轴上从左到右依次有$A$,$B$,$C$三点,$A$,$B$,$C三点表示的数分别为a$,$b$,$\sqrt { 15 }$,其中$b$为整数,且满足$| a + 3 | + \sqrt { b - 2 } = b - 2$,求$b - a$的值.

答案： 【解】由题意可得$a ＜ b ＜ \sqrt{15}$。
因为$|a + 3| + \sqrt{b - 2} = b - 2$，所以$b \geq 2$。
又因为$b$为整数，所以$b = 2$或3。
所以$|a + 3| = 0$。所以$a = - 3$。
所以$b - a = 2 - ( - 3) = 5$或$b - a = 3 - ( - 3) = 6$。
所以$b - a$的值为5或6。

11. 学习了算术平方根后,我们知道:
(1)$\sqrt { a } ( a \geq 0 )$是非负数,那么$\sqrt { a }$有最小值吗? 如果有,此时$a$为多少? 最小值又是多少?
(2)当$a$取什么值时,$\sqrt { 2 a + 1 } + 1$的值最小? 请求出这个最小值.
(3)小王认为:当$x = m$时,$3 - \sqrt { 1 - x }$有最大值,且最大值为$n$,你知道$m$,$n$的值分别为多少吗?

答案： 【解】
(1)$\sqrt{a}$有最小值，当$a = 0$时，最小值是0。
(2)因为$\sqrt{2a + 1} \geq 0$，所以当$a = - \frac{1}{2}$时，$\sqrt{2a + 1}$有最小值，最小值是0。则$\sqrt{2a + 1} + 1$的最小值是1。
(3)当$1 - x = 0$，即$x = 1$时，$3 - \sqrt{1 - x}$有最大值，且最大值为3，所以$m = 1$，$n = 3$。

12. 若$y = \sqrt { 1 - 2 x } + \sqrt { 2 x - 1 } + \sqrt { ( x - 1 ) ^ { 2 } }$,则$23 x + 9 y$的算术平方根为4.

答案： 4 【点拨】由题意得$1 - 2x \geq 0$，$2x - 1 \geq 0$，所以$1 - 2x = 0$，解得$x = \frac{1}{2}$，所以$y = 0 + 0 + |x - 1| = \frac{1}{2}$。
所以$23x + 9y = 23 \times \frac{1}{2} + 9 \times \frac{1}{2} = 16$。
因为16的算术平方根为4，所以$23x + 9y$的算术平方根为4。

13. 已知$a$,$b$为实数,且$\sqrt { 1 + a } - ( b - 1 ) \cdot \sqrt { 1 - b } = 0$,求$a ^ { 2026 } - b ^ { 2025 }$的值.

答案： 【解】因为$\sqrt{1 + a} - (b - 1)\sqrt{1 - b} = 0$，
所以$\sqrt{1 + a} + (1 - b)\sqrt{1 - b} = 0$。
因为$1 + a \geq 0$，$1 - b \geq 0$，所以$1 + a = 0$，$1 - b = 0$，
解得$a = - 1$，$b = 1$，
所以$a^{2026} - b^{2025} = ( - 1)^{2026} - 1^{2025} = 1 - 1 = 0$。

14. 已知$\sqrt { x - 2 } + \sqrt { x - 2 y - 4 } = \sqrt { a + b - 2028 } \cdot \sqrt { 2028 - a - b }$.
(1)求$a + b$的值;
(2)求$3 x - 2 y$的立方根.

答案： 【解】
(1)由题意得$a + b - 2028 \geq 0$，$2028 - a - b \geq 0$，
所以$a + b = 2028$。
(2)因为$a + b = 2028$，所以$\sqrt{x - 2} + \sqrt{x - 2y - 4} = 0$。
因为$\sqrt{x - 2} \geq 0$，$\sqrt{x - 2y - 4} \geq 0$，
所以$x - 2 = 0$，$x - 2y - 4 = 0$，解得$x = 2$，$y = - 1$。
所以$3x - 2y = 3 \times 2 + 2 \times 1 = 8$。
所以$3x - 2y$的立方根是2。