《2025年综合应用创新题典中点八年级数学上册北师大版》

1. 下列关系中,属于成正比例函数关系的是(D)
A. 正方形的面积与边长
B. 三角形的周长与边长
C. 圆的面积与它的半径
D. 速度一定时,路程与时间

答案： D

2. 下列函数:①$y= 4x$;②$y= -\frac {x}{4}$;③$y= \frac {4}{x}$;④$y= -4x+5$;⑤$y= 2x^{2}-4$.其中一次函数的个数是(C)
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

答案： C

3. 母题 教材 P81 尝试·思考 已知汽车油箱内有油 40 L,每行驶 100 km 耗油 10 L,则汽车行驶过程中油箱内剩余的油量 Q(单位:L)与行驶路程 s(单位:km)之间的函数表达式是(C)
A. $Q= 40-\frac {s}{100}$
B. $Q= 40+\frac {s}{100}$
C. $Q= 40-\frac {s}{10}$
D. $Q= 40+\frac {s}{10}$

答案： C

4. 已知函数$y= (m-1)x+m^{2}-1$是正比例函数,则$m= $-1.

答案： -1

5. 母题 教材 P81 例 1 写出下列各题中 x 与 y 之间的函数关系式,并判断 y 是否为 x 的一次函数?是否为正比例函数?
(1)小红去商店买笔记本,每本笔记本 2.5 元,小红所付买笔记本的钱 y(单位:元)与所买笔记本的本数 x(单位:本)之间的关系;
(2)一辆汽车由北京驶往相距 120 km 的天津,它的平均速度是 40 km/h,汽车距天津的路程 y(单位:km)与行驶时间 x(单位:h)的关系.

答案： 【解】
(1)由题意得 $ y = 2.5x $，y 是 x 的一次函数，且是正比例函数.
(2)由题意得 $ y = 120 - 40x $，y 是 x 的一次函数，y 不是 x 的正比例函数.

6. 新考向 传统文化 如图①,“燕几”即宴几,是世界上最早的一套组合桌,由北宋进士黄伯思设计.全套“燕几”一共有七张桌子,包括两张长桌、两张中桌和三张小桌,每张桌面的宽都相等.七张桌面分开可组合成不同的图形.如图②给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式,若设每张桌面的宽为 x 尺,长桌的长为 y 尺,则 y 与 x 的关系可以表示为(B)

A. $y= 3x$
B. $y= 4x$
C. $y= 3x+1$
D. $y= 4x+1$

答案： B 【点拨】由题图可知，“回文”的桌面的总面积为 $ 4x \cdot (x + y) $，其中每张长桌的桌面面积为 xy，每张中桌的桌面面积为 $ 3x^{2} $，每张小桌的桌面面积为 $ 2x^{2} $. 根据题意，得 $ 2xy + 2 \times 3x^{2} + 3 \times 2x^{2} = 4x(x + y) $，解得 $ y = 4x $.

7. 新视角 新定义题 定义$[p,q]为一次函数y= px+q$的特征数,即一次函数$y= 2x+1的特征数为[2,1]$,若特征数为$[t,t+3]$的一次函数为正比例函数,则 t 的值为-3.

答案： -3

8. 学校食堂按如图方式摆放餐桌和椅子.若用 x 表示餐桌的张数,y 表示椅子的把数,请你写出椅子数 y(单位:把)与餐桌数 x(单位:张)之间的函数关系式:$ y = 2x + 2 $.

答案： $ y = 2x + 2 $ 【点拨】观察题图知 $ x = 1 $ 时，$ y = 4 $；$ x = 2 $ 时，$ y = 6 $；$ x = 3 $ 时，$ y = 8 $；…；可见每增加一张桌子，便增加 2 把椅子，所以 x 张餐桌共有 $ (2x + 2) $ 把椅子. 故函数关系式为 $ y = 2x + 2 $.

9. [2025 合肥蜀山区期中]已知函数$y= (m+1)\cdot x^{2-|m|}+n+4$.
(1)当 m,n 为何值时,此函数是一次函数?
(2)当 m,n 为何值时,此函数是正比例函数?

答案： 【解】
(1)由题意，得 $ 2 - |m| = 1 $，
解得 $ m = \pm 1 $，
因为 $ m + 1 \neq 0 $，所以 $ m \neq -1 $，所以 $ m = 1 $.
所以当 $ m = 1 $，n 为任意实数时，这个函数是一次函数.
(2)由题意，得 $ 2 - |m| = 1 $，$ n + 4 = 0 $，
解得 $ m = \pm 1 $，$ n = -4 $.
因为 $ m + 1 \neq 0 $，所以 $ m \neq -1 $，所以 $ m = 1 $.
所以当 $ m = 1 $，$ n = -4 $ 时，这个函数是正比例函数.