《2025年综合应用创新题典中点八年级数学上册北师大版》

1. 立德树人 学习雷锋精神 某校将举办主题为“激情三月,学习雷锋精神”的演讲比赛活动,学校计划用150元钱购买A,B,C三种奖品(三种都买),A种奖品每个10元,B种奖品每个20元,C种奖品每个30元,在C种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下,购买方案有(D)
A. 6种
B. 7种
C. 8种
D. 9种

答案： D 【点拨】设购买 $ x $ 个 $ A $ 种奖品，$ y $ 个 $ B $ 种奖品。当购买 1 个 $ C $ 种奖品时，$ 10x + 20y + 30 = 150 $，所以 $ x = 12 - 2y $。因为 $ x $，$ y $ 均为正整数，所以 $ \begin{cases} x = 10, \\ y = 1 \end{cases} $ 或 $ \begin{cases} x = 8, \\ y = 2 \end{cases} $ 或 $ \begin{cases} x = 6, \\ y = 3 \end{cases} $ 或 $ \begin{cases} x = 4, \\ y = 4 \end{cases} $ 或 $ \begin{cases} x = 2, \\ y = 5 \end{cases} $，所以此时有 5 种购买方案可供选择；当购买 2 个 $ C $ 种奖品时，$ 10x + 20y + 30 \times 2 = 150 $，所以 $ x = 9 - 2y $。因为 $ x $，$ y $ 均为正整数，所以 $ \begin{cases} x = 7, \\ y = 1 \end{cases} $ 或 $ \begin{cases} x = 5, \\ y = 2 \end{cases} $ 或 $ \begin{cases} x = 3, \\ y = 3 \end{cases} $ 或 $ \begin{cases} x = 1, \\ y = 4 \end{cases} $，所以此时有 4 种购买方案可供选择。所以购买方案有 $ 4 + 5 = 9 $（种）。故选 D。

2. 某物流公司计划用两种车型运输物资,用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满物资一次可运11吨.某物流公司现有31吨物资,计划同时租用A型车a辆,B型车b辆,一次运完,且恰好每辆车都装满(两种型号的车均至少租用1辆).
(1)1辆A型车和1辆B型车都装满物资一次可分别运多少吨?
(2)请你帮该物流公司设计租车方案,并把符合要求的租车方案都列出来.
(3)若A型车每辆需租金每次100元,B型车每辆需租金每次120元,请从(2)中的方案里选出最省钱的租车方案,并求出最少租车费.

答案： 【解】
(1)设 1 辆 $ A $ 型车装满物资一次可运 $ x $ 吨，1 辆 $ B $ 型车装满物资一次可运 $ y $ 吨，依题意，得 $ \begin{cases} 2x + y = 10, \\ x + 2y = 11, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} x = 3, \\ y = 4, \end{cases} $ 所以 1 辆 $ A $ 型车装满物资一次可运 3 吨，1 辆 $ B $ 型车装满物资一次可运 4 吨。
(2)依题意，得 $ 3a + 4b = 31 $，所以 $ a = \frac{31 - 4b}{3} $。又因为 $ a $，$ b $ 均为正整数，所以 $ \begin{cases} a = 9, \\ b = 1 \end{cases} $ 或 $ \begin{cases} a = 5, \\ b = 4 \end{cases} $ 或 $ \begin{cases} a = 1, \\ b = 7. \end{cases} $ 所以该物流公司共有 3 种租车方案：方案 1：租用 9 辆 $ A $ 型车，1 辆 $ B $ 型车；方案 2：租用 5 辆 $ A $ 型车，4 辆 $ B $ 型车；方案 3：租用 1 辆 $ A $ 型车，7 辆 $ B $ 型车。
(3)方案 1 所需租金为 $ 100 \times 9 + 120 \times 1 = 1020 $（元）；方案 2 所需租金为 $ 100 \times 5 + 120 \times 4 = 980 $（元）；方案 3 所需租金为 $ 100 \times 1 + 120 \times 7 = 940 $（元）。因为 $ 1020 ＞ 980 ＞ 940 $，所以最省钱的租车方案为租用 1 辆 $ A $ 型车，7 辆 $ B $ 型车，最少租车费为 940 元。

3. 某电脑公司有A,B,C三种型号的电脑,其相应的价格如表：

已知某中学现有资金100500元,计划全部用于从该电脑公司购进36台两种不同型号的电脑.请设计出几种不同的购买方案供该校选择.
有两种方案供该校选择：第一种方案是购进A型电脑3台，C型电脑33台；第二种方案是购进B型电脑7台，C型电脑29台。

答案： 【解】设从该电脑公司购进 $ A $ 型电脑 $ x $ 台，$ B $ 型电脑 $ y $ 台，$ C $ 型电脑 $ z $ 台，则可分以下三种情况考虑：只购进 $ A $ 型电脑和 $ B $ 型电脑，则 $ \begin{cases} 6000x + 4000y = 100500, \\ x + y = 36, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} x = -21.75, \\ y = 57.75 \end{cases} $（不符合题意，舍去）。只购进 $ A $ 型电脑和 $ C $ 型电脑，则 $ \begin{cases} 6000x + 2500z = 100500, \\ x + z = 36, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} x = 3, \\ z = 33; \end{cases} $ 只购进 $ B $ 型电脑和 $ C $ 型电脑，则 $ \begin{cases} 4000y + 2500z = 100500, \\ y + z = 36, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} y = 7, \\ z = 29. \end{cases} $ 所以，有两种方案供该校选择：第一种方案是购进 $ A $ 型电脑 3 台，$ C $ 型电脑 33 台；第二种方案是购进 $ B $ 型电脑 7 台，$ C $ 型电脑 29 台。

4. 某公司有个工程对外招标,现有甲、乙两个工程队来应标.若甲、乙两个工程队合作,需8周完成,共需工程款33.6万元；若甲队单独做6周后,剩下的由乙队来做,还需12周才能完成,共需工程款32.4万元.若只选一个工程队完成,该公司应该选择哪个工程队来承接这个工程?

答案： 【解】设甲工程队每周的工作效率为 $ x $，乙工程队每周的工作效率为 $ y $。根据题意，得 $ \begin{cases} 8(x + y) = 1, \\ 6x + 12y = 1, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} x = \frac{1}{12}, \\ y = \frac{1}{24}. \end{cases} $ 所以甲工程队单独完成这一工程需要 $ 1 \div \frac{1}{12} = 12 $（周）；乙工程队单独完成这一工程需要 $ 1 \div \frac{1}{24} = 24 $（周）。所以从节省时间的角度考虑应该选择甲公司。设甲工程队每周费用为 $ a $ 万元，乙工程队每周费用为 $ b $ 万元。根据题意，得 $ \begin{cases} 8(a + b) = 33.6, \\ 6a + 12b = 32.4, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} a = 3, \\ b = 1.2. \end{cases} $ 所以甲工程队单独做需要 $ 3 \times 12 = 36 $（万元），乙工程队单独做需要 $ 1.2 \times 24 = 28.8 $（万元）。所以从节约经费的角度考虑应该选择乙公司。