《2025年综合应用创新题典中点八年级数学上册北师大版》

10. 如图①是第七届国际数学教育大会(ICME-7)会徽图案,它是由一串有公共顶点$O$的直角三角形(如图②)演化而成的. 图②中的$OA_{1}= A_{1}A_{2}= A_{2}A_{3}= ... =A_{7}A_{8}= ... =1$,若$S_{1}代表\triangle A_{1}OA_{2}$的面积,$S_{2}代表\triangle A_{2}OA_{3}$的面积,以此类推,则$S_{9}$的值为______$\frac{3}{2}$.

答案： 7.$\frac{3}{2}$ 【点拨】由勾股定理得$OA_{2}^{2}=1^{2}+1^{2}=2$，$OA_{3}^{2}=2+1^{2}=3$，$OA_{4}^{2}=3+1^{2}=4$，$OA_{5}^{2}=4+1^{2}=5$，……$OA_{9}^{2}=9$，所以OA₉=3，所以$S_{9}=\frac{3\times1}{2}=\frac{3}{2}$.

11. 在$\triangle ABC$中,$AB= 30$,$AC= 26$,高$AD= 24$,则$\triangle ABC$的周长为______.

答案：
8.84或64 【点拨】
(1)当高AD在△ABC的内部时，如图①.

在Rt△ABD中，$BD^{2}=AB^{2}-AD^{2}=324$，所以BD=18.在Rt△ACD中，$CD^{2}=AC^{2}-AD^{2}=100$，所以CD=10.所以BC=BD+CD=28，此时△ABC的周长是AB+BC+AC=30+28+26=84；
(2)当高AD在△ABC的外部时，如图②.
在Rt△ABD中，$BD^{2}=AB^{2}-AD^{2}=324$，所以BD=18.在Rt△ACD中，$CD^{2}=AC^{2}-AD^{2}=100$，所以CD=10.所以BC=BD - CD=8，此时△ABC的周长是AB+BC+AC=30+8+26=64.
综上所述，△ABC的周长是84或64.

12. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$∠ACB= 90^{\circ }$,$AB= 10cm$,$AC= 6cm$,动点$P从点B出发沿射线BC以2cm/s$的速度运动,设运动的时间为$t s$.
(1)当点$P运动到BC$的中点时,$t$的值是______；
(2)连接$AP$,$4s$内,若$BP= AP$,求$BP$的长；
(3)当$\triangle ABP$为直角三角形时,求$t$的值.

答案：
9.【解】
(1)2
(2)在Rt△ABC中，由勾股定理易得BC=8cm，当点P到达点C时，t=8÷2=4，所以4s内，点P在线段BC上.
由题意得BP=AP=2tcm.因为BC=8cm，所以PC=(8 - 2t)cm.在Rt△APC中，根据勾股定理可得$PC^{2}+AC^{2}=AP^{2}$，即$(8 - 2t)^{2}+6^{2}=(2t)^{2}$，解得$t=\frac{25}{8}$，所以$BP=2\times\frac{25}{8}=\frac{25}{4}$(cm).
(3)①当∠APB=90°时，点P和点C重合，此时t=4；②当∠BAP=90°时，点P在线段BC的延长线上，如图.因为BP=2tcm，BC=8cm，所以PC=(2t - 8)cm.在Rt△ACP中，根据勾股定理可得$AP^{2}=AC^{2}+PC^{2}=6^{2}+(2t - 8)^{2}$，在Rt△ABP中，根据勾股定理可得$AP^{2}=BP^{2}-AB^{2}=(2t)^{2}-10^{2}$，所以$6^{2}+(2t - 8)^{2}=(2t)^{2}-10^{2}$，解得

$t=\frac{25}{4}$.
综上，t=4或$t=\frac{25}{4}$.