《2025年综合应用创新题典中点八年级数学上册北师大版》

1. 如图,在四边形ABCD中,$∠D= ∠ACB= 90^{\circ }$,$CD= 12$,$AD= 16$,$BC= 15$,则AB的长为(B)

A. 20
B. 25
C. 35
D. 30

答案： B

2. 如图,在长方形ABCD中,$AB= 4cm$,$AD= 12cm$,将此长方形折叠,使点B与点D重合,折痕为EF,则AE的长度为(C)

A. 3 cm
B. 4 cm
C. $\frac {16}{3}cm$
D. $\frac {20}{3}cm$

答案： C

3. [2025烟台期中]有一个边长为1的正方形,经过一次“生长”后,在它的左右肩上生出两个小正方形,如图①,其中三个正方形围成的三角形是直角三角形；再经过一次“生长”后,如图②.如果继续“生长”下去,它将变得“枝繁叶茂”,请你计算“生长”了10次后的图形中所有正方形的面积之和为(A)

A. 11
B. 55
C. 66
D. $2^{11}-1$

答案： A

4. 下列由三条线段a,b,c构成的三角形ABC中：①$∠A+∠B= ∠C$；②$a= 3k$,$b= 4k$,$c= 5k(k＞0)$；③$∠A:∠B:∠C= 3:4:5$；④$a= m^{2}+1$,$b= m^{2}-1$,$c= 2m$(m为大于1的整数),其中是直角三角形的是(B)
A. ①④
B. ①②④
C. ②③④
D. ①②③

答案： B

5. 如图,在$4×4$的网格中,每个小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上,则下列结论错误的是(C)

A. $AB^{2}= 20$
B. $∠BAC= 90^{\circ }$
C. $\triangle ABC$的面积为10
D. 点A到直线BC的距离是2

答案： C

6. 如图,在四边形ABDC中,$∠A= 90^{\circ }$,$AB= 6$,$AC= 8$,$BD= 5$,$CD^{2}= 125$.
(1)连接BC,求BC的长；10
(2)求$\triangle BCD$的面积.25

答案： 【解】
(1)因为在$\triangle ABC$中，$\angle A = 90^{\circ}$，$AB = 6$，$AC = 8$，所以$BC^{2} = AB^{2} + AC^{2} = 100$，所以$BC = 10$。
(2)因为$BC = 10$，$BD = 5$，$CD^{2} = 125$，所以$BC^{2} + BD^{2} = 10^{2} + 5^{2} = 125 = CD^{2}$，所以$\triangle BCD$是直角三角形，且$\angle CBD = 90^{\circ}$，所以$\triangle BCD$的面积为$\frac{1}{2}BD \cdot BC = \frac{1}{2} \times 5 \times 10 = 25$。

7. 新考向数学文化法国数学家费尔马早在17世纪就研究过形如$x^{2}+y^{2}= z^{2}$的方程,显然,这个方程有无数组解.我们把满足该方程的正整数的解$(x,y,z)$称为勾股数.如$(3,4,5)$就是一组勾股数.
(1)请你再写出两组勾股数：$(6,8,10)$,$(9,12,15)$；
(2)在研究直角三角形的勾股数时,古希腊哲学家柏拉图曾指出：如果n表示大于1的整数,$x= 2n$,$y= n^{2}-1$,$z= n^{2}+1$,那么以x,y,z为三边长的三角形为直角三角形,即$(x,y,z)$为勾股数.请你加以说明.

答案： 【解】
(1)$(6,8,10)$；$(9,12,15)$(答案不唯一)
(2)因为$x^{2} + y^{2} = (2n)^{2} + (n^{2} - 1)^{2} = 4n^{2} + n^{4} - 2n^{2} + 1 = n^{4} + 2n^{2} + 1 = (n^{2} + 1)^{2} = z^{2}$，所以$(x,y,z)$为勾股数。