《2025年综合应用创新题典中点八年级数学上册北师大版》

12. 直线$y= kx-2k+3$恒过一定点,则该点的坐标是$(2,3)$;在平面直角坐标系中有三点$A(-1,0)$,$B(2,3)$,$C(5,0)$,若直线$y= kx-2k+3将\triangle ABC$分成左、右面积之比为$1:2$的两部分,则$k$的值是3.

答案： $(2,3)$；3　[点拨]因为$y=kx - 2k + 3 = k(x - 2) + 3$，所以当$x=2$时，$y=3$. 所以直线$y=kx - 2k + 3$恒过点$(2,3)$. 因为直线$y=kx - 2k + 3$将$\triangle ABC$分成左、右面积之比为$1:2$的两部分，所以易知直线$y=kx - 2k + 3$过点$(1,0)$. 所以$0 = k - 2k + 3$，解得$k=3$.

13. (10分)已知$y与x$成正比例,当$x= -1$时,$y= 4$.
(1)求$y与x$之间的函数表达式;$y = - 4x$
(2)请判断点$A(2,-6)$是否在这个函数的图象上,并说明理由.点$A(2, - 6)$不在这个函数的图象上，理由：把$x = 2$代入$y = - 4x$，得$y = - 4×2 = - 8 ≠ - 6$，所以点$A(2, - 6)$不在这个函数的图象上

答案： [解]
(1)设$y$与$x$的函数表达式为$y = kx$. 因为当$x = - 1$时，$y = 4$，所以$-k = 4$，解得$k = - 4$. 所以$y$与$x$的函数表达式为$y = - 4x$.
(2)点$A(2, - 6)$不在这个函数的图象上，理由：把$x = 2$代入$y = - 4x$，得$y = - 4×2 = - 8 ≠ - 6$，所以点$A(2, - 6)$不在这个函数的图象上.

14. (12分)[2025扬州月考]在平面直角坐标系中画出一次函数$y= -2x+4$的图象.
(1)求该直线与坐标轴围成的三角形的面积;
(2)若该一次函数图象上的点$P到x$轴的距离是2,求点$P$的坐标.

答案：
[解]因为$y = - 2x + 4$，所以当$x = 0$时，$y = 4$，当$y = 0$时，可得$- 2x + 4 = 0$，解得$x = 2$，所以该直线与$x$轴的交点坐标为$(2,0)$，与$y$轴的交点坐标为$(0,4)$.
所以一次函数$y = - 2x + 4$的图象如图所示.

(1)易知该直线与坐标轴围成的三角形的面积为$\frac{1}{2}×2×4 = 4$.
(2)因为一次函数图象上的点$P$到$x$轴的距离是2，所以点$P$的纵坐标是2或$- 2$.
当点$P$的纵坐标是$- 2$时，可得$- 2x + 4 = - 2$，解得$x = 3$，此时点$P$的坐标为$(3, - 2)$；
当点$P$的纵坐标是2时，可得$- 2x + 4 = 2$，解得$x = 1$，此时点$P$的坐标为$(1,2)$.
综上所述，点$P$的坐标为$(1,2)$或$(3, - 2)$.

15. (12分)如图,直线$y= \frac{1}{2}x+3与x轴相交于点A$,与$y轴相交于点B$.
(1)求$\triangle AOB$的面积;9
(2)若$C为y$轴上一点,且$\triangle ABC$的面积是12,求点$C$的坐标;(0,-1)或(0,7)
(3)若$P是x$轴上一点,且$AB= AP$,求点$P$的坐标.(-6+3√5,0)或(-6-3√5,0)

答案： [解]
(1)直线$y = \frac{1}{2}x + 3$与$x$轴相交于点$A$，与$y$轴相交于点$B$，所以易得点$A( - 6,0)$，点$B(0,3)$. 所以$AO = 6$，$BO = 3$. 所以$\triangle AOB$的面积$=\frac{1}{2}×6×3 = 9$.
(2)设点$C(0,m)$. 因为$\triangle ABC$的面积是12，所以$\frac{1}{2}×OA×BC = 12$，即$\frac{1}{2}×6×|3 - m| = 12$，
解得$m = - 1$或7.
所以点$C$的坐标为$(0, - 1)$或$(0,7)$.
(3)因为$AO = 6$，$BO = 3$，
所以$AB = \sqrt{OA^{2} + OB^{2}} = \sqrt{36 + 9} = 3\sqrt{5}$.
因为$AB = AP$，所以$AP = 3\sqrt{5}$.
所以点$P( - 6 + 3\sqrt{5},0)$或$( - 6 - 3\sqrt{5},0)$.

16. (14分)如图,直线$l_1:y= 2x+1与直线l_2:y= mx+4相交于点P(1,b)$.
(1)求$b$,$m$的值;$b=$3,$m=$-1
(2)垂直于$x轴的直线x= a与直线l_1$,$l_2分别交于点C$,$D$,若线段$CD$的长为2,求$a$的值.$a=$$\frac{1}{3}$或$\frac{5}{3}$

答案： [解]
(1)因为点$P(1,b)$在直线$l_{1}:y = 2x + 1$上，
所以$b = 2×1 + 1 = 3$. 所以点$P$的坐标为$(1,3)$.
因为点$P(1,3)$在直线$l_{2}:y = mx + 4$上，
所以$3 = m + 4$. 所以$m = - 1$.
(2)由
(1)知直线$l_{2}$的表达式为$y = - x + 4$.
根据题意可知$C$，$D$的坐标可分别表示为$(a,2a + 1)$，$(a,4 - a)$. 因为$CD = 2$，所以$|2a + 1 - (4 - a)| = 2$，解得$a = \frac{1}{3}$或$a = \frac{5}{3}$.