《2025年综合应用创新题典中点八年级数学上册北师大版》

1. 16的平方根是(D)
A. 2
B. -4
C. 4
D. ±4

答案： D

2. 下列关于平方根的说法：
①正数的平方根是正数；
②-1的平方根是-1；
③$\sqrt{16}$的平方根是±4；
④非负数$a$的平方根是非负数；
⑤$-m是m^{2}$的一个平方根；
⑥$n^{2}的平方根是n$.
其中正确的有(A)
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个

答案： A

3. 母题教材P33例4 下列各式中,正确的是(B)
A. $\sqrt{(-3)^{2}}= -3$
B. $-\sqrt{(-3)^{2}}= -3$
C. $-\sqrt{(-3)^{2}}= 3$
D. $\sqrt{3^{2}}= \pm3$

答案： B

4. 若$a^{2}= (-4)^{2}$,则$a= $$\pm 4$.

答案： $\pm 4$

5. 下列各数：$0,\frac{25}{4},a^{2}+1,-(-\frac{1}{3})^{2},-(-5)^{2},|a - 1|,|a| - 1,\sqrt{16},a^{2}-2a + 1,-a,a^{2}-6$,其中一定有平方根的数有6个.

答案： 6

6. 已知$x= \sqrt{2026}-3$,则$(x + 3)^{2}+90$的平方根是$\pm 46$.

答案： $\pm 46$

7. 化简：$\sqrt{(x - 5)^{2}}-(\sqrt{3 - x})^{2}= $2.

答案： 2

8. 母题教材P38习题T5 求下列各式中$x$的值：
(1)$36x^{2}-16 = 0$；$x=\frac{2}{3}$或$x=-\frac{2}{3}$
(2)$\frac{1}{2}(x + 2)^{2}= 7$.$x=\sqrt{14}-2$或$x=-\sqrt{14}-2$

答案： 【解】
(1)因为$36x^{2}-16=0$，所以$36x^{2}=16$。
所以$x^{2}=\frac{4}{9}$，所以$x=\frac{2}{3}$或$x=-\frac{2}{3}$。
(2)因为$\frac{1}{2}(x+2)^{2}=7$，所以$(x+2)^{2}=14$。
所以$x+2=\pm \sqrt{14}$。
所以$x=\sqrt{14}-2$或$x=-\sqrt{14}-2$。

9. 新考法过程辨析法 已知$a - 1$和$5 - 2a$都是非负数$m$的平方根,求$m$的值.
佳佳的解题过程如下：
解：因为$a - 1$和$5 - 2a$都是非负数$m$的平方根,
所以$a - 1+5 - 2a = 0$,解得$a = 4$,
所以$a - 1 = 3$,所以$m$的值为9.
请问佳佳的解题过程正确吗？如果不正确,请说明理由.
佳佳的解题过程不正确，理由如下：因为$a-1$和$5-2a$是非负数$m$的平方根，所以当$a-1+5-2a=0$时，解得$a=4$，所以$a-1=3$，所以$m$的值为9；当$a-1=5-2a$时，解得$a=2$，所以$a-1=1$，所以$m$的值为1。综上所述，$m$的值为1或9。

答案： 【解】佳佳的解题过程不正确，理由如下：
因为$a-1$和$5-2a$是非负数$m$的平方根，
所以当$a-1+5-2a=0$时，解得$a=4$，
所以$a-1=3$，所以$m$的值为9；
当$a-1=5-2a$时，解得$a=2$，所以$a-1=1$，
所以$m$的值为1。
综上所述，$m$的值为1或9。

10. 新趋势学科内综合 若$8x^{m}y与6x^{3}y^{n}$的和是单项式,则$(m + n)^{3}$的平方根为(D)
A. 4
B. 8
C. ±4
D. ±8

答案： D

11. 若$2a - 3$的平方根是它本身,则$a^{2}+1$的值是$\frac{13}{4}$.

答案： $\frac{13}{4}$

12. 新考问数学文化 我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的公式,此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙,即三角形的三边长分别为$a,b,c$,记$p= \frac{a + b + c}{2}$,则其面积$S= \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$,这个公式也被称为海伦—秦九韶公式.若一个三角形的$a,b,c,p$为四个连续正整数,则此三角形的面积为6.

答案： 6

13. 若实数$x,y,z满足条件\sqrt{x}+\sqrt{y - 1}+\sqrt{z - 2}= \frac{1}{4}(x + y + z + 9)$,则$xyz= $120.

答案： 120 【点拨】因为实数$x$，$y$，$z$满足条件$\sqrt{x}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-2}=\frac{1}{4}(x+y+z+9)$，所以$x+y+z+9=4(\sqrt{x}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-2})$，所以$(x-4\sqrt{x}+4)+(y-1-4\sqrt{y-1}+4)+(z-2-4\sqrt{z-2}+4)=0$，所以$(\sqrt{x}-2)^{2}+(\sqrt{y-1}-2)^{2}+(\sqrt{z-2}-2)^{2}=0$，所以$\sqrt{x}-2=0$，$\sqrt{y-1}-2=0$，$\sqrt{z-2}-2=0$所以$\sqrt{x}=2$，$\sqrt{y-1}=2$，$\sqrt{z-2}=2$，所以$x=4$，$y-1=4$，$z-2=4$，所以$y=5$，$z=6$，所以$xyz=120$。

14. 新考法分类讨论法 若$|a - 2025|+\sqrt{b + 2025}= 2$,其中$a,b$均为整数,则$|a + b|= $4或2或0.

答案： 4或2或0 【点拨】因为$|a-2025|+\sqrt{b+2025}=2$，其中$a$，$b$均为整数，且$|a-2025| \geq 0$，$\sqrt{b+2025} \geq 0$，所以可分为以下三种情况：
①$|a-2025|=0$，$\sqrt{b+2025}=2$，解得$a=2025$，$b=-2021$；②$|a-2025|=1$，$\sqrt{b+2025}=1$，解得$a=2024$或2026，$b=-2024$；③$|a-2025|=2$，$\sqrt{b+2025}=0$，解得$a=2027$或2023，$b=-2025$。
综上所述，$|a+b|=4$或2或0。