《2025年综合应用创新题典中点八年级数学上册北师大版》

1. 用代入消元法解方程组$\left\{\begin{array}{l} 2x-y= 5,\\ y= 1+x\end{array}\right. $时,消去y,得到关于x的方程是(A)
A. $2x-(1+x)= 5$
B. $2x-1+x= 5$
C. $2x+1+x= 5$
D. $2x+5= 1+x$

答案： A

2. 已知x,y满足方程组$\left\{\begin{array}{l} x+m= 4,\\ y-5= m,\end{array}\right. $则x,y恒有关系式是(C)
A. $x+y= 1$
B. $x+y= -1$
C. $x+y= 9$
D. $x-y= 9$

答案： C

3. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一,很多剪纸作品体现了数学中的对称美.如图,蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形,将其放在平面直角坐标系中,若点E的坐标为$(2m,-n)$,其关于y轴对称的点F的坐标为$(1-3n,m+8)$,则$m-4n= $7.

答案： 7

4. 下面是小颖同学解方程组$\begin{cases}{3x-y= 7，①}\\{5x+2y= 8，②}\end{cases}$的过程:
解:由①,得y=3x−7,③ 第一步
把③代入①,得3x−(3x−7)=7, 第二步
即7=7, 第三步
所以此方程组无解. 第四步
其中,开始出现错误的是第____二步.

答案： 二

5. 下面是小明同学解方程组$\left\{\begin{array}{l} 2x-8y= 13,\\ 4x+2y= -1\end{array}\right. $的过程的框图表示,请你帮他补充完整:

其中,①为消去x,②为代入,③为解得x.

答案： 代入；消去x；解得x

6. 用代入消元法解下列方程组:
(1)$\left\{\begin{array}{l} 3a+2b= 13,\\ 5a-4b= 7;\end{array}\right. $
解：
由方程$3a + 2b = 13$可得$2b = 13 - 3a$，即$b=\frac{13 - 3a}{2}$。
将$b=\frac{13 - 3a}{2}$代入方程$5a - 4b = 7$中，得到：
$5a - 4×\frac{13 - 3a}{2}=7$
$5a - 2×(13 - 3a)=7$
$5a - 26 + 6a = 7$
$5a + 6a = 7 + 26$
$11a = 33$
$a = 3$。
把$a = 3$代入$b=\frac{13 - 3a}{2}$，得$b=\frac{13 - 3×3}{2}=\frac{13 - 9}{2}=2$。
所以方程组的解为$\begin{cases}a=3 \\b=2 \end{cases}$。
(2)$\left\{\begin{array}{l} \frac {x+y}{3}-\frac {x-y}{2}= 1,\\ 2(x+y)+3(x-y)= 18.\end{array}\right. $
解：
设$m=x + y$，$n=x - y$，则原方程组可化为$\begin{cases}\frac{m}{3}-\frac{n}{2}=1 \\2m + 3n = 18 \end{cases}$。
由$\frac{m}{3}-\frac{n}{2}=1$可得$2m - 3n = 6$，即$2m=3n + 6$，$m=\frac{3n + 6}{2}$。
将$m=\frac{3n + 6}{2}$代入$2m + 3n = 18$中，得到：
$2×\frac{3n + 6}{2}+3n = 18$
$3n + 6 + 3n = 18$
$6n = 18 - 6$
$6n = 12$
$n = 2$。
把$n = 2$代入$m=\frac{3n + 6}{2}$，得$m=\frac{3×2 + 6}{2}=\frac{6 + 6}{2}=6$。
即$\begin{cases}x + y=6 \\x - y=2 \end{cases}$，
由$x + y = 6$可得$x = 6 - y$，
将$x = 6 - y$代入$x - y = 2$中，得$6 - y - y = 2$，
$-2y = 2 - 6$，
$-2y = -4$，
$y = 2$。
把$y = 2$代入$x = 6 - y$，得$x = 6 - 2 = 4$。
所以原方程组的解为$\begin{cases}x=4 \\y=2 \end{cases}$。

答案： $(1)$ 解方程组$\begin{cases}3a + 2b = 13 \\5a - 4b = 7 \end{cases}$
解：
由方程$3a + 2b = 13$可得$2b = 13 - 3a$，即$b=\frac{13 - 3a}{2}$。
将$b=\frac{13 - 3a}{2}$代入方程$5a - 4b = 7$中，得到：
$5a - 4×\frac{13 - 3a}{2}=7$
$5a - 2×(13 - 3a)=7$
$5a - 26 + 6a = 7$
$5a + 6a = 7 + 26$
$11a = 33$
$a = 3$。
把$a = 3$代入$b=\frac{13 - 3a}{2}$，得$b=\frac{13 - 3×3}{2}=\frac{13 - 9}{2}=2$。
所以方程组的解为$\begin{cases}a = 3 \\b = 2 \end{cases}$。
$(2)$ 解方程组$\begin{cases}\frac{x + y}{3}-\frac{x - y}{2}=1 \\2(x + y)+3(x - y)=18 \end{cases}$
解：
设$m=x + y$，$n=x - y$，则原方程组可化为$\begin{cases}\frac{m}{3}-\frac{n}{2}=1 \\2m + 3n = 18 \end{cases}$。
由$\frac{m}{3}-\frac{n}{2}=1$可得$2m - 3n = 6$，即$2m=3n + 6$，$m=\frac{3n + 6}{2}$。
将$m=\frac{3n + 6}{2}$代入$2m + 3n = 18$中，得到：
$2×\frac{3n + 6}{2}+3n = 18$
$3n + 6 + 3n = 18$
$6n = 18 - 6$
$6n = 12$
$n = 2$。
把$n = 2$代入$m=\frac{3n + 6}{2}$，得$m=\frac{3×2 + 6}{2}=\frac{6 + 6}{2}=6$。
即$\begin{cases}x + y = 6 \\x - y = 2 \end{cases}$，
由$x + y = 6$可得$x = 6 - y$，
将$x = 6 - y$代入$x - y = 2$中，得$6 - y - y = 2$，
$-2y = 2 - 6$，
$-2y = -4$，
$y = 2$。
把$y = 2$代入$x = 6 - y$，得$x = 6 - 2 = 4$。
所以原方程组的解为$\begin{cases}x = 4 \\y = 2 \end{cases}$。
综上，答案依次为$(1)$$\boldsymbol{\begin{cases}a = 3 \\b = 2 \end{cases}}$；$(2)$$\boldsymbol{\begin{cases}x = 4 \\y = 2 \end{cases}}$。

7. $|3x-2y-5|+(6x+3y-3)^{2}= 0$,那么x与y的值分别为(D)
A. $\left\{\begin{array}{l} x= 0,\\ y= 0\end{array}\right. $
B. $\left\{\begin{array}{l} x= 1,\\ y= 1\end{array}\right. $
C. $\left\{\begin{array}{l} x= -1,\\ y= 1\end{array}\right. $
D. $\left\{\begin{array}{l} x= 1,\\ y= -1\end{array}\right. $

答案： D【点拨】因为$|3x-2y-5|+(6x+3y-3)^{2}=0$，所以$\left\{\begin{array}{l} 3x-2y-5=0,\\ 6x+3y-3=0,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} x=1,\\ y=-1.\end{array}\right. $

8. 定义一种新运算“※”,规定$x※y= ax+by^{2}$,其中a,b为常数,且$7※2= 11,2※4= 18$,则$3※1= $(4)
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6

答案： B【点拨】因为$x※y=ax+by^{2}$，且$7※2=11$，$2※4=18$，所以$\left\{\begin{array}{l} 7a+4b=11,\\ 2a+16b=18,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} a=1,\\ b=1.\end{array}\right. $所以$x※y=x+y^{2}$。
所以$3※1=3+1^{2}=4$。

9. 符号■,●各代表一个数字,且满足以下两个等式:■-●-1= 0,4(■-●)-●= -5,则满足等式$\frac {k}{6}-\frac {3\cdot ■-k}{●-5}= 1$的k的值为( )
A. 50.4
B. 40.4
C. 30.4
D. 20.4

答案：
D【点拨】设 =x， =y，则$\left\{\begin{array}{l} x-y-1=0,\\ 4(x-y)-y=-5,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} x=10,\\ y=9,\end{array}\right. $则 =10， =9。把 =10， =9代入$\frac {k}{6}-\frac {3\cdot -k}{ -5}=1$，得$\frac {k}{6}-\frac {3×10-k}{9-5}=1$，解得$k=20.4$。