《2025年综合应用创新题典中点八年级数学上册北师大版》

1. 下列各式:①$\sqrt {2}$,②$\sqrt {\frac {1}{3}}$,③$\sqrt {8}$,④$\sqrt {\frac {2}{7}}$,⑤$\sqrt {0.2}$,⑥$\sqrt {x^{2}+1}$中,最简二次根式有(B)
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个

答案： B

2. [2025上海嘉定区月考]将$(x-1)\sqrt {\frac {1}{1-x}}$根号外的因式移到根号内,结果为(B)
A. $\sqrt {1-x}$
B. $-\sqrt {1-x}$
C. $\sqrt {x-1}$
D. $-\sqrt {x-1}$

答案： B

3. 母题教材P44随堂练习T2 下列算式中,正确的是(C)
A. $3\sqrt {3}-\sqrt {3}= 3$
B. $\sqrt {3}+\sqrt {2}= \sqrt {5}$
C. $\frac {1}{\sqrt {3}}= \frac {\sqrt {3}}{3}$
D. $\sqrt {9}÷\sqrt {3}= 3$

答案： C

4. 若$m\sqrt {8}+\sqrt {32}-n\sqrt {2}= 5\sqrt {2}$,则下列结论正确的是(B)
A. $m= 0,n= 1$
B. $m= 1,n= 1$
C. $m= -1,n= 0$
D. $m= 2,n= 4$

答案： B

5. 新视角结论开放题 小华和小刚两人分别拿一张卡片,小华在卡片上写二次根式a,小刚在卡片上写二次根式b,使得$ab= \sqrt {18}$,请你写出一对满足条件的a,b的值:$\sqrt{3}, \sqrt{6}$（答案不唯一）.

答案： $\sqrt{3}, \sqrt{6}$（答案不唯一）

6. 已知$\sqrt {\frac {1-a}{a^{2}}}= \frac {\sqrt {1-a}}{4}$,则a的值是$-4$或1.

答案： $-4$或1

7. (1)已知长方形的宽为$3\sqrt {15}cm$,长为$6\sqrt {5}cm$,则长方形的面积为$90 \sqrt{3}$$cm^{2}$;
(2)一个长方形的周长为$\sqrt {200}$,它的一边长为$\sqrt {18}$,则另一边长为$2 \sqrt{2}$.

答案：
(1) $90 \sqrt{3}$
(2) $2 \sqrt{2}$

8. 计算:(1)$3\sqrt {2}-2\sqrt {12}-4\sqrt {\frac {1}{8}}+3\sqrt {48}$;
(2)$\sqrt {24}+\sqrt {0.5}-(\sqrt {\frac {1}{8}}+\sqrt {6})$.

答案： 【解】
(1) 原式 $=3 \sqrt{2}-4 \sqrt{3}-\sqrt{2}+12 \sqrt{3}=2 \sqrt{2}+8 \sqrt{3}$.
(2) 原式 $=2 \sqrt{6}+\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{4}-\sqrt{6}=\sqrt{6}+\frac{\sqrt{2}}{4}$.

9. 已知$\sqrt {5}= a,\sqrt {14}= b$,则$\sqrt {0.063}$等于(D)
A. $\frac {ab}{10}$
B. $\frac {3ab}{10}$
C. $\frac {ab}{100}$
D. $\frac {3ab}{100}$

答案： D 【点拨】 $\sqrt{0.063}=\sqrt{\frac{630}{10000}}=\frac{\sqrt{9} \times \sqrt{70}}{100}=\frac{3 \sqrt{5} \times \sqrt{14}}{100}$. 因为 $\sqrt{5}=a, \sqrt{14}=b$, 所以原式 $=\frac{3 a b}{100}$.

10. [2025邯郸模拟]若$a+\sqrt {12}= \sqrt {27}$,则表示实数a的点会落在如图所示的数轴的(B)

A. 段①上
B. 段②上
C. 段③上
D. 段④上

答案： B 【点拨】因为 $a+\sqrt{12}=\sqrt{27}$, 所以 $a=\sqrt{27}-\sqrt{12}=3 \sqrt{3}-2 \sqrt{3}=\sqrt{3}$. 因为 $\sqrt{1}＜\sqrt{3}＜\sqrt{4}$, 所以 $1＜\sqrt{3}＜2$, 即 $1＜a＜2$, 所以表示实数 $a$ 的点会落在题图中数轴的段②上.

11. 已知最简二次根式$\sqrt {4a+3}与\sqrt [b+1]{2a-b+6}$可以合并,则$a+b$的值为2.

答案： 2 【点拨】由题意得 $b+1=2,4 a+3=2 a-b+6$, 解得 $a=1, b=1$, 则 $a+b=1+1=2$.

12. 在进行实数的化简时,我们可以用“$\sqrt {ab}= \sqrt {a}\cdot \sqrt {b}(a≥0,b≥0)$”.如$\sqrt {12}= \sqrt {2×2×3}= \sqrt {2^{2}}×\sqrt {3}= 2\sqrt {3}$.利用这种方式可以化简被开方数较大的二次根式.
(1)已知m为正整数,若$\sqrt {189m}$是整数,则m的最小值为21;
(2)设n为正整数,若$y= \sqrt {\frac {200}{n}}$,y是大于1的整数,则y的最大值与y的最小值的差为8.

答案：
(1) 21
(2) 8 【点拨】
(1) 因为 $\sqrt{189 m}=\sqrt{3 \times 3 \times 21 m}=3 \sqrt{21 m}, m$ 为正整数, $\sqrt{189 m}$ 是整数, 所以 $m$ 的最小值为 21.
(2) 因为 $y=\sqrt{\frac{200}{n}}=10 \sqrt{\frac{2}{n}}, n$ 为正整数, $y$ 是大于 1 的整数, 所以当 $n=2$ 时, $y_{\max }=10 \sqrt{\frac{2}{2}}=10$. 因为当 $n$ 增大时, $y$ 减小, 所以当 $n=50$ 时, $y_{\min }=\sqrt{\frac{2 \times 2 \times 50}{50}}=2$. 所以 $y$ 的最大值与 $y$ 的最小值的差为 $10-2=8$.