《2025年综合应用创新题典中点八年级数学上册北师大版》

13. (12分)母题 教材P49复习题T4 计算:
(1)$( - 3 ) ^ { 0 } + \sqrt { 8 } + ( - 3 ) ^ { 2 } - 4 × \frac { \sqrt { 2 } } { 2 }$;
(2)$\sqrt { 48 } ÷ \sqrt { 3 } - \sqrt { \frac { 1 } { 2 } } × \sqrt { 12 } + \sqrt { 24 }$;
(3)$( 3 + 2 \sqrt { 5 } ) ^ { 2 } - ( 4 + \sqrt { 5 } ) ( 4 - \sqrt { 5 } )$.

答案： 【解】
(1)原式$=1 + 2\sqrt{2} + 9 - 2\sqrt{2}=10$。
(2)原式$=4\sqrt{3}\div\sqrt{3}-\sqrt{\frac{1}{2}\times12}+2\sqrt{6}=4-\sqrt{6}+2\sqrt{6}=4+\sqrt{6}$。
(3)原式$=9 + 12\sqrt{5} + 20-(16 - 5)=29 + 12\sqrt{5}-11=18+12\sqrt{5}$。

14. (8分)若2,5,$n$为三角形的三边长,化简$\sqrt { ( 3 - n ) ^ { 2 } } + \sqrt { ( 8 - n ) ^ { 2 } }$.

答案： 【解】由三角形三边关系可知$3\lt n\lt7$，所以$3 - n\lt0$，$8 - n\gt1$，所以$\sqrt{(3 - n)^{2}}+\sqrt{(8 - n)^{2}}=\vert3 - n\vert+\vert8 - n\vert=-(3 - n)+(8 - n)=-3 + n + 8 - n=5$。

15. (12分)如图①,两张面积分别为$25 \mathrm { cm } ^ { 2 }和20 \mathrm { cm } ^ { 2 }的正方形纸片无重叠地放在一张长方形纸片A B C D$中.
(1)图①中阴影部分图形的长为$2\sqrt{5}$$\mathrm { cm }$,宽为$5 - 2\sqrt{5}$$\mathrm { cm }$.
(2)求图①中阴影部分图形的周长和面积.
(3)小康将图①中的面积分别为$25 \mathrm { cm } ^ { 2 }和20 \mathrm { cm } ^ { 2 }$的正方形纸片重新按照如图②所示的方式摆放在另一张长方形纸片$A B C D$中,其中长方形$A B C D$中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示. 若$A B = 6 \mathrm { cm }$,求图②中空白部分的面积.

答案： 【解】
(1)$2\sqrt{5}$；$(5 - 2\sqrt{5})$
(2)阴影部分图形的周长$=2\times(2\sqrt{5}+5 - 2\sqrt{5})=10(cm)$。
阴影部分图形的面积$=2\sqrt{5}\times(5 - 2\sqrt{5})=(10\sqrt{5}-20)(cm^{2})$。
(3)由题图②可知，$S_{空白}=S_{正方形CEF}+S_{长方形DGNK}$。因为长方形$DGNK$的长为$\sqrt{20}=2\sqrt{5}(cm)$，宽为$(6-\sqrt{25})=1(cm)$，所以$S_{空白}=S_{正方形CEF}+S_{长方形DGNK}=25+1\times2\sqrt{5}=(25+2\sqrt{5})(cm^{2})$。

16. (12分)新视角 规律探究题 2025·太原迎泽区月考 如图,将边长分别为$1$,$1 + \sqrt { 2 }$,$1 + 2 \sqrt { 2 }$,$1 + 3 \sqrt { 2 }的正方形的面积记为S _ { 1 }$,$S _ { 2 }$,$S _ { 3 }$,$S _ { 4 }$.
(1)计算:$S _ { 2 } - S _ { 1 }$=$2+2\sqrt{2}$,$S _ { 3 } - S _ { 2 }$=$6+2\sqrt{2}$,$S _ { 4 } - S _ { 3 }$=$10+2\sqrt{2}$.
(2)把边长为$1 + ( n - 1 ) \sqrt { 2 }的正方形的面积记作S _ { n }$,其中$n$是正整数,从(1)中的计算结果,你能猜出$S _ { n + 1 } - S _ { n }$等于多少吗? 你的猜想是否正确,请说明理由.
猜想：$S _ { n + 1 } - S _ { n }$=$4n - 2 + 2\sqrt{2}$
(3)若将正方形的边长变为$a$,$a + \sqrt { b }$,$a + 2 \sqrt { b }$,$a + 3 \sqrt { b }$,…$$时,$S _ { n + 1 } - S _ { n }$的值是$2nb - b + 2a\sqrt{b}$.

答案： 【解】
(1)$S_{2}-S_{1}=(1+\sqrt{2})^{2}-1^{2}=1+2\sqrt{2}+2-1=2+2\sqrt{2}$。$S_{3}-S_{2}=(1+2\sqrt{2})^{2}-(1+\sqrt{2})^{2}=1+4\sqrt{2}+8-1-2\sqrt{2}-2=6+2\sqrt{2}$，$S_{4}-S_{3}=(1+3\sqrt{2})^{2}-(1+2\sqrt{2})^{2}=1+6\sqrt{2}+18-1-4\sqrt{2}-8=10+2\sqrt{2}$。
(2)$S_{n + 1}-S_{n}=4n - 2 + 2\sqrt{2}$。理由如下：
$S_{n + 1}-S_{n}=(1 + n\sqrt{2})^{2}-[1+(n - 1)\sqrt{2}]^{2}$
$=1 + 2\sqrt{2}n + 2n^{2}-[1 + 2\sqrt{2}(n - 1)+2(n - 1)^{2}]$
$=1 + 2\sqrt{2}n + 2n^{2}-(1 + 2\sqrt{2}n - 2\sqrt{2}+2n^{2}-4n + 2)$
$=1 + 2\sqrt{2}n + 2n^{2}-1 - 2\sqrt{2}n + 2\sqrt{2}-2n^{2}+4n - 2$
$=4n - 2 + 2\sqrt{2}$。
(3)$S_{n + 1}-S_{n}=(a + n\sqrt{b})^{2}-[a+(n - 1)\sqrt{b}]^{2}$
$=a^{2}+2an\sqrt{b}+n^{2}b-[a^{2}+2a(n - 1)\sqrt{b}+(n - 1)^{2}b]$
$=a^{2}+2an\sqrt{b}+n^{2}b-[a^{2}+2an\sqrt{b}-2a\sqrt{b}+n^{2}b-2nb + b]$
$=a^{2}+2an\sqrt{b}+n^{2}b - a^{2}-2an\sqrt{b}+2a\sqrt{b}-n^{2}b + 2nb - b$
$=2nb - b + 2a\sqrt{b}$。