《2025年综合应用创新题典中点八年级数学上册北师大版》

16. 如图是添加了便签的台历示意图,正方形ABFE为日历区,正方形EGHD为备忘录区,长方形GFCH为便签区,已知日历区的面积为$270cm^{2}$,备忘录区的面积为$80cm^{2}$,则便签区的面积为____$(60\sqrt{6} - 80)$$cm^{2}$。

答案： $(60\sqrt{6} - 80)$

17. 计算：(1)$\sqrt {48}÷\sqrt {3}-\sqrt {\frac {1}{2}}×\sqrt {12}-\sqrt {24}$；
(2)$(-\frac {1}{3})^{-2}+|1-\sqrt {2}|+(π-2)^{0}+\sqrt {8}$；
(3)$(2\sqrt {3}-1)^{2}+(\sqrt {2}-3)(\sqrt {2}+3)$。

答案： 【解】
(1) $\sqrt{48} \div \sqrt{3} - \sqrt{\frac{1}{2}} \times \sqrt{12} - \sqrt{24} = 4 - \sqrt{6} - 2\sqrt{6} = 4 - 3\sqrt{6}$。
(2) $\left( -\frac{1}{3} \right)^{-2} + |1 - \sqrt{2}| + (\pi - 2)^0 + \sqrt{8} = 9 + \sqrt{2} - 1 + 1 + 2\sqrt{2} = 9 + 3\sqrt{2}$。
(3) $(2\sqrt{3} - 1)^2 + (\sqrt{2} - 3)(\sqrt{2} + 3) = 12 - 4\sqrt{3} + 1 + 2 - 9 = 6 - 4\sqrt{3}$。

18. 已知$a= \frac {1}{\sqrt {3}-\sqrt {2}}$,$b= \frac {1}{\sqrt {3}+\sqrt {2}}$。
(1)求$a+b$的值；$2\sqrt{3}$
(2)求$a^{2}-3ab+b^{2}$的值。7

答案： 【解】$a = \frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{(\sqrt{3} - \sqrt{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2})} = \sqrt{3} + \sqrt{2}$，
$b = \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2})} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$。
(1) $a + b = \sqrt{3} + \sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{2} = 2\sqrt{3}$。
(2) 因为 $ab = (\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2}) = 3 - 2 = 1$，
所以 $a^2 - 3ab + b^2 = (a + b)^2 - 5ab = (2\sqrt{3})^2 - 5 = 7$。

19. 若实数$a$在数轴上对应点的位置如图所示,则化简$(\sqrt {a-1})^{2}+\sqrt {(a-2)^{2}}$的结果是____1。

答案： 1

20. 若$a$,$b$为有理数,$a\sqrt {2}+(b-1)\sqrt {27}= 3\sqrt {2}-\sqrt {\frac {1}{3}}$,则$a= $3,$b= $$\frac{8}{9}$。

答案： $3; \frac{8}{9}$

21. 用字母$a$表示一个实数,则$|a|$,$a^{2}$一定是非负数,也就是它们的值为正数或0,所以$|a|$有最小值0,而$-|a|$一定是非正数,即它的值为负数或0,所以$-|a|$有最大值0,根据这个结论完成下列问题：
(1)$|a|+3$有最小(填“大”或“小”)值3；
(2)$5-a^{2}$有最大(填“大”或“小”)值5；
(3)若正整数$a$,$b满足|a+1|= 5-(b-1)^{2}$,求$a^{b}$的平方根。
$\pm 2$或$\pm 3$

答案： 【解】
(1) 小；3
(2) 大；5
(3) 因为正整数 $a, b$ 满足 $|a + 1| = 5 - (b - 1)^2$，
所以正整数 $a, b$ 可能为 $a = 3, b = 2$ 或 $a = 4, b = 1$。
当 $a = 3, b = 2$ 时，$a^b = 3^2 = 9$，所以 $a^b$ 的平方根为 $\pm 3$；
当 $a = 4, b = 1$ 时，$a^b = 4^1 = 4$，所以 $a^b$ 的平方根为 $\pm 2$。
综上，$a^b$ 的平方根为 $\pm 2$ 或 $\pm 3$。

22. 已知$a+b= -8$,$ab= 12$,求$b\sqrt {\frac {b}{a}}+a\sqrt {\frac {a}{b}}$的值。
$-\frac{20\sqrt{3}}{3}$

答案： 【解】因为 $a + b = -8 ＜ 0, ab = 12 ＞ 0$，
所以 $a ＜ 0, b ＜ 0$，
所以原式 $= -\frac{b\sqrt{ab}}{a} - \frac{a\sqrt{ab}}{b} = -\frac{(b^2 + a^2)\sqrt{ab}}{ab} = -\frac{(a + b)^2 - 2ab}{ab}\sqrt{ab}$。当 $a + b = -8, ab = 12$ 时，原式 $= -\frac{64 - 24}{12} \times \sqrt{12} = -\frac{20\sqrt{3}}{3}$。