《2025年综合应用创新题典中点八年级数学上册北师大版》

12. 如图①是第七届国际数学教育大会的会徽,会徽的主体图案是由如图②的一连串直角三角形演化而成的,其中$OA_{1}= A_{1}A_{2}= A_{2}A_{3}=… =A_{7}A_{8}= 1$. 如果把图②中的直角三角形继续作下去,那么$OA_{1}$,$OA_{2}$,$OA_{3}$,…,$OA_{25}$这些线段中,有20条线段的长度为无理数.

答案： 20 【点拨】由题意可得，$OA_{1}^{2}=1,OA_{2}^{2}=OA_{1}^{2}+1^{2}=2,OA_{3}^{2}=OA_{2}^{2}+1^{2}=3,OA_{4}^{2}=OA_{3}^{2}+1^{2}=4,OA_{5}^{2}=OA_{4}^{2}+1^{2}=5,... $，所以线段长度为有理数的是$OA_{1}=1,OA_{4}=2,OA_{9}=3,OA_{16}=4,OA_{25}=5$，所以$OA_{1},OA_{2},OA_{3},... ,OA_{25}$这些线段中，长度为无理数的线段有$25 - 5 = 20$（条）。

13. 乐乐同学对方格纸中的数学问题很感兴趣,请你一起来探究吧.
(1)图中每个小正方形方格的边长为1,请你在方格纸上按照以下要求设计直角三角形,直角三角形的三个顶点都在格点上.
①使它的三边中有一边的边长不是有理数；
②使它的三边中有两边边长不是有理数；
③使它的三边边长都不是有理数.
(2)乐乐认为要计算图④中梯形$ABCD$的面积可以利用分割或补形的方法,请你任选一种方法计算.

答案：
【解】（1）①如图①.（答案不唯一）
　　　
②如图②.（答案不唯一）
③如图③.（答案不唯一）
（2）梯形 ABCD 的面积$=5×7-\frac {1}{2}×1×1-\frac {1}{2}×2×4-\frac {1}{2}×5×5=18.$

14. 【阅读与思考】
请认真阅读,并完成相应任务.
我们知道,有理数包括整数、有限小数和无限循环小数. 事实上,所有的有理数都可以化为分数形式(整数可以看作分母为1的分数),那么无限循环小数如何表示为分数的形式呢？请看以下示例. 例：将$0.\dot {3}$化成分数,解决方法如下：
设$x= 0.\dot {3}$,即$x= 0.333…$,
将方程两边都乘10,
得$10x= 3.333…$,即$10x= 3+0.333…$.
又因为$x= 0.333…$,所以$10x= 3+x$,所以$9x= 3$,所以$x= \frac {1}{3}$,
所以$0.\dot {3}= \frac {1}{3}$.
【任务】
(1)把$0.\dot {5}$化成分数为$\frac {5}{9}$；
(2)把$0.\dot {2}\dot {4}$化成分数,请写出推理过程；
(3)把$0.1\dot {3}$化成分数为$\frac {2}{15}$.

答案： 【解】
(1)$\frac {5}{9}$
（2）设$m=0.\dot {2}\dot {4}$，则$100m=24.\dot {2}\dot {4}$，即$100m=24+m$，解得$m=\frac {8}{33}$，即$0.\dot {2}\dot {4}=\frac {8}{33}.$
（3）$\frac {2}{15}$【点拨】设$n=0.1\dot {3}$，则$10n=1.\dot {3},100n=13.\dot {3}$，那么$100n=12+10n$，解得$n=\frac {2}{15}$，即$0.1\dot {3}=\frac {2}{15}.$