《2025年综合应用创新题典中点八年级数学上册北师大版》

12. 新视角 动点探究题 如图所示,在$\triangle ABC$中,$AB:BC:CA= 3:4:5$,且周长为36 cm,点P从点A开始沿AB边向B点以1 cm/s的速度移动;点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动,如果同时出发,则3 s时,$\triangle BPQ$的面积为____18$cm^{2}$.

答案： 18　[点拨]根据题意设AB=3xcm(x＞0),BC=4xcm,AC=5xcm.因为周长为36cm,所以AB+BC+AC=36cm,即3x+4x+5x=36,解得x=3,所以AB=9cm,BC=12cm,AC=15cm.所以AB²+BC²=AC²,所以△ABC是直角三角形,∠ABC=90°.3s时,BP=9−3×1=6(cm),BQ=2×3=6(cm),所以S△PBQ=$\frac{1}{2}$BP·BQ=$\frac{1}{2}$×6×6=18(cm²).

13. 如图,已知在正方形ABCD中,E是BC的中点,F在AB上,且$AF:FB= 3:1$.
(1)请你判断EF与DE的位置关系,并说明理由;
EF与DE的位置关系是垂直
(2)若此正方形的面积为16,求DF的长.
DF的长为5

答案：
(1)EF⊥DE.理由如下:
　设正方形ABCD的边长为a.在正方形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°,AD=DC=BC=AB=a.
　由题意可得FB=$\frac{1}{4}$a,AF=$\frac{3}{4}$a,BE=EC=$\frac{1}{2}$a.
　在Rt△DAF中,DF²=AD²+AF²=$\frac{25}{16}$a²,
　在Rt△CDE中,DE²=CD²+CE²=$\frac{5}{4}$a²,
　在Rt△EFB中,EF²=FB²+BE²=$\frac{5}{16}$a²,
　所以DE²+EF²=$\frac{5}{4}$a²+$\frac{5}{16}$a²=$\frac{25}{16}$a²=DF².
　所以△DFE为直角三角形，且∠DEF=90°,即EF⊥DE.
(2)因为正方形的面积为16,所以a²=16.
　所以DF²=$\frac{25}{16}$a²=$\frac{25}{16}$×16=25.所以DF=5.

14. 新视角 新定义题 定义:如图,点M,N把线段AB分割成AM,MN,NB,若以AM,MN,NB为边的三角形是一个直角三角形,则称点M,N是线段AB的勾股分割点.

(1)若$AM= 2.5,MN= 6.5,BN= 6$,则点M,N是线段AB的勾股分割点吗? 请说明理由;
点M,N是线段AB的勾股分割点.理由如下:因为AM²+BN²=2.5²+6²=42.25,MN²=6.5²=42.25,所以AM²+NB²=MN²,所以以AM,MN,NB为边的三角形是一个直角三角形,所以点M,N是线段AB的勾股分割点.
(2)已知AM为直角边,若$AB= 30,AM= 5$,求BN的长.12或13

答案：
(1)点M,N是线段AB的勾股分割点.
　理由如下:因为AM²+BN²=2.5²+6²=42.25,MN²=6.5²=42.25,
　所以AM²+NB²=MN²,所以以AM,MN,NB为边的三角形是一个直角三角形,
　所以点M,N是线段AB的勾股分割点.
(2)设BN=x,则MN=30−AM−BN=25−x.
　①当MN为斜边时,有MN²=AM²+NB²,
　即(25−x)²=25+x²,解得x=12;
　②当BN为斜边时,有BN²=AM²+MN²,
　即x²=25+(25−x)²,解得x=13.
　综上所述,BN的长为12或13.

15. 情境题 方案策略型 如图是某区域仓储配送中心的示意图,A区为商品入库区,B区,C区是配送中心区.已知B,C两个配送中心区相距250 m,A,B区相距200 m,A,C区相距150 m,为了方便商品从入库区分拣传送至配送中心区,现有两种搭建传送带的方案.甲方案:从A区直接搭建两条传送带分别到B区,C区;乙方案:在B区,C区之间搭建一条传送带,再从A区搭建一条垂直于BC的传送带,两条传送带的连接处为中转站D区(接缝忽略不计).(1)请判断此平面图形△ABC的形状(要求写出推理过程).△ABC是直角三角形，推理过程：由题意可知BC=250m,AB=200m,AC=150m.因为200²+150²=250²,所以AB²+AC²=BC².所以△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°.(2)甲、乙两种方案中,哪一种方案所搭建的传送带较短? 请通过计算说明.甲方案所搭建的传送带较短，计算说明：由(1)可知△ABC是直角三角形,且∠BAC=90°.又因为AD⊥BC,所以S△ABC=$\frac{1}{2}$BC·AD=$\frac{1}{2}$AB·AC.所以AD=$\frac{AB·AC}{BC}$=$\frac{200×150}{250}$=120(m).所以AD+DB+DC=AD+BC=120+250=370(m).因为AB+AC=200+150=350(m)＜370m,所以甲方案所搭建的传送带较短.

答案：
(1)由题意可知BC=250m,AB=200m,AC=150m.因为200²+150²=250²,
所以AB²+AC²=BC².所以△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°.
(2)由
(1)可知△ABC是直角三角形,且∠BAC=90°.
　又因为AD⊥BC,
　所以S△ABC=$\frac{1}{2}$BC·AD=$\frac{1}{2}$AB·AC.
　所以AD=$\frac{AB·AC}{BC}$=$\frac{200×150}{250}$=120(m).
　所以AD+DB+DC=AD+BC=120+250=370(m).
　因为AB+AC=200+150=350(m)＜370m,
　所以甲方案所搭建的传送带较短.