《2025年综合应用创新题典中点八年级数学上册北师大版》

1. [2025太原晋源区月考]若$\sqrt {5-x}$为整数,$x$为正整数,则满足条件的$x$的值有(D)
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 3个

答案： D

2. 嘉嘉和淇淇一起观察下列乘方计算结果的个位数字：$3^{1},3^{2},3^{3},3^{4},3^{5},3^{6},3^{7},3^{8},... $,关于他俩的结论,判断正确的是(B)
嘉嘉：$3^{n}$($n$是大于1的整数)$=\underset{n个3}{\underbrace{3+3+… +3}}$；
淇淇：若$3^{n}$($n$是正整数)的个位数字是1,则$n$能被4整除.
A. 只有嘉嘉的正确
B. 只有淇淇的正确
C. 他俩都正确
D. 他俩都不正确

答案： B【点拨】$3^{n}$（$n$是大于$1$的整数）$=\underbrace{3×3×\cdots×3}_{n个3}$，故嘉嘉判断不正确；因为$3^{1}=3$，$3^{2}=9$，$3^{3}=27$，$3^{4}=81$，$3^{5}=243$，$3^{6}=729$，$3^{7}=2187$，$3^{8}=6561$，$\cdots$，所以个位数字是$3$，$9$，$7$，$1$，四个数一循环，所以当指数为$4$的倍数时，个位数字为$1$，故$3^{n}$（$n$是正整数）的个位数字是$1$，则$n$能被$4$整除，淇淇的判断正确。

3. 新视角新定义题对于任意一个三位自然数$M$,若十位数字等于百位数字与个位数字的和,我们称这个三位数为“中和数”.例如:143,$4= 1+3$,所以143是中和数;又如:276,$7≠2+6$,所以276不是中和数.最大的“中和数”是990,三位数$M= \overline {abc}$是“中和数”,若$M$能被7整除,则满足条件的$M$的最大值与最小值的差是616.

答案： $990$；$616$【点拨】根据“中和数”的定义可知，最大的“中和数”是$990$。因为$M=\overline{abc}$是中和数，所以$b=a+c$。所以$M=100a+10b+c=100a+10(a+c)+c=100a+10a+10c+c=110a+11c=11(10a+c)$。因为$M$能被$7$整除，所以$10a+c$能被$7$整除。又因为$1\leqslant a\leqslant9$，$1\leqslant b=a+c\leqslant9$，$1\leqslant c\leqslant9$，所以$10a+c$的最大值为$70$，最小值为$14$。所以满足条件的$M$的最大值是$770$，最小值是$154$。所以$770 - 154 = 616$。

4. 新视角动手操作题已知:$∠ABC= α,∠CBD= 90^{\circ }$,用尺规完成下列作图,并回答问题.
(1)求作:以点$B$为顶点,射线$BC$为一边,在$∠ABC外作∠CBE$,使$∠CBE= ∠ABC$;(不写作法,保留作图痕迹)
(2)延长$AB至F$,用等式表示图中所有相等的角,以及和为$90^{\circ }$的角.

答案：
【解】
(1)如图，$\angle CBE$即为所求。

(2)如图。相等的角有：$\angle ABC=\angle CBE$，$\angle EBD=\angle FBD$。
和为$90^{\circ}$的角有：$\angle ABC+\angle DBE=90^{\circ}$，$\angle ABC+\angle FBD=90^{\circ}$，$\angle CBE+\angle EBD=90^{\circ}$，$\angle CBE+\angle FBD=90^{\circ}$。

5. 如图,$BD是\triangle ABC$的中线,$O是BD$上一点,连接$AO并延长交BC于点E$.若$\triangle ABC$的面积为12,$OB= 2OD$,则$\triangle BOE$的面积是( )

A. 4
B. 3
C. 2
D. 1

答案：
C【点拨】如图，连接$DE$。因为$BD$是$\triangle ABC$的中线，$\triangle ABC$的面积为$12$，所以$S_{\triangle ADB}=S_{\triangle CDB}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}=6$，$S_{\triangle ADE}=S_{\triangle CDE}$。因为$OB = 2OD$，所以$S_{\triangle BOE}=2S_{\triangle DOE}$，$S_{\triangle AOB}=2S_{\triangle AOD}$。所以$S_{\triangle AOD}=\frac{1}{3}S_{\triangle ADB}=2$。设$S_{\triangle DOE}=x$，则$S_{\triangle BOE}=2x$，$S_{\triangle CDE}=S_{\triangle ADE}=S_{\triangle AOD}+S_{\triangle DOE}=2 + x$。由$S_{\triangle BOE}+S_{\triangle DOE}+S_{\triangle CDE}=S_{\triangle CDB}$，得$2x + x + 2 + x = 6$，解得$x = 1$，所以$\triangle BOE$的面积为$2x = 2$。

6. 新考向数学文化世界上第一次给出的勾股数公式,是记录在我国古代的数学著作《九章算术》中,书中提到:当$a= \frac {1}{2}(m^{2}-n^{2}),b= mn,c= \frac {1}{2}(m^{2}+n^{2})$时,其中$m＞n＞0,m,n$是互质的奇数.
(1)任意写出满足条件的一组勾股数:____8，15，17____;
(2)某三角形的三边长满足上述勾股数,其中一边长为37,且$n= 5$,该直角三角形的面积为____210____.

答案：
(1)$8$，$15$，$17$（答案不唯一）
(2)$210$
【点拨】
(1)当$m = 5$时，$n = 3$时；$a=\frac{1}{2}(m^{2}-n^{2})=\frac{1}{2}(5^{2}-3^{2})=8$，$b = mn = 5\times3 = 15$，$c=\frac{1}{2}(m^{2}+n^{2})=\frac{1}{2}(5^{2}+3^{2})=17$。因为$8^{2}+15^{2}=289=17^{2}$所以勾股数$8$，$15$，$17$满足题意。
(2)因为$n = 5$，所以$a=\frac{1}{2}(m^{2}-25)$，$b = 5m$，$c=\frac{1}{2}(m^{2}+25)$。因为直角三角形的一边长为$37$，分三种情况讨论：①当$a = 37$时，$a=\frac{1}{2}(m^{2}-25)=37$，解得$m=\pm3\sqrt{11}$（不合题意，舍去）；②当$b = 5m = 37$时，$m=\frac{37}{5}$（不合题意，舍去）；③当$c=\frac{1}{2}(m^{2}+25)=37$，解得$m=\pm7$。因为$m\gt n\gt0$，$m$，$n$是互质的奇数。所以$m = 7$。把$m = 7$代入，得到$a=\frac{1}{2}(m^{2}-25)=\frac{1}{2}(7^{2}-25)=12$，$b = 5m = 35$。综上所述，一边长为$37$，且$n = 5$，该直角三角形的三条边长分别为$12$，$35$，$37$。所以面积为$\frac{1}{2}\times12\times35 = 210$。

7. 中国最早的算术教材皆称为《算经》,其中最具代表性的著作为《孙子算经》,其中所著问题皆为经典.如原载“物不知数问题”,原文是:“今有物不知其数,三三数之剩二;五五数之剩三;七七数之剩二.问物几何?”答曰:二十三.当时著名的大数学家程大位,对于这种解一般“孙子问题”的方法,还编出了四句歌诀:三人同行七十稀,五树梅花廿一枝;七子团圆正半月,除百零五便得知.小明阅读完这段材料之后,经过研究并发现歌诀中的数据都隐含深意,并揭秘如下:70是5和7的倍数,但被3除余1;21是3和7的倍数,但被5除余1,15是3和5的倍数,但被7除余1;而105是3,5,7的最小公倍数.在使用的同时,可以如下构造数据:2(被3除的余数)$×70$(构造的数)+3(被5除的余数)$×21$(构造的数)+2(被7除的余数)$×15$(构造的数),和为233,再除以105,余数为23.
请你求出满足下列条件的最小正整数:
(1)被3除余1,被5除余3,被7除余6;
(2)被5除余3,被7除余2,被11除余2.

答案： 【解】
(1)$1$（被$3$除的余数）$\times70$（构造的数）$+3$（被$5$除的余数）$\times21$（构造的数）$+6$（被$7$除的余数）$\times15$（构造的数），和为$70 + 63 + 90 = 223$，$223\div(3\times5\times7)=223\div105 = 2\cdots\cdots13$，余数为$13$，则被$3$除余$1$，被$5$除余$3$，被$7$除余$6$的最小正整数是$13$。
(2)$3$（被$5$除的余数）$\times231$（构造的数）$+2$（被$7$除的余数）$\times330$（构造的数）$+2$（被$11$除的余数）$\times210$（构造的数），和为$693 + 660 + 420 = 1773$，$1773\div(5\times7\times11)=1773\div385 = 4\cdots\cdots233$，余数为$233$，则被$5$除余$3$，被$7$除余$2$，被$11$除余$2$的最小正整数是$233$。