《2025年综合应用创新题典中点八年级数学上册北师大版》

10. 已知点A的坐标为$(a+1,3-a)$,下列说法正确的是(B)
A. 若点A在y轴上,则$a= 3$
B. 若点A在第一、三象限的角平分线上,则$a= 1$
C. 若点A到x轴的距离是3,则$a= \pm 6$
D. 若点A在第四象限,则a的值可以为-2

答案： B

11. 如图,$A(-1,0),C(1,4)$,点B在x轴上,且$AB= 4$．
(1)求点B的坐标,并画出$\triangle ABC$；
(2)求$\triangle ABC$的面积；
(3)在y轴上是否存在点P,使以A,B,P三点为顶点的三角形的面积为12？若存在,请直接写出点P的坐标；若不存在,请说明理由．

答案：
【解】
(1)点 $B$ 在点 $A$ 的右边时，$-1 + 4 = 3$，
点 $B$ 在点 $A$ 的左边时，$-1 - 4 = -5$，
所以点 $B$ 的坐标为 $(3,0)$ 或 $(-5,0)$.
$\triangle ABC$ 如图所示：

(2)$\triangle ABC$ 的面积 $= \frac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8$.
(3)存在，点 $P$ 的坐标为 $(0,6)$ 或 $(0,-6)$.

12. 定义：在平面直角坐标系xOy中,已知点$P_{1}(a,b),P_{2}(c,b),P_{3}(c,d)$,这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点$P_{1},P_{2},P_{3}$的“最佳间距”．例如：点$P_{1}(-1,2),P_{2}(1,2),P_{3}(1,3)$的“最佳间距”是1．
(1)点$Q_{1}(-2,1),Q_{2}(-5,1),Q_{3}(-5,5)$的“最佳间距”是3；
(2)当点$O(0,0),E(2m,0),P(2m,-2m+3)$的“最佳间距”为1时,点P的横坐标为±1或2或4．

答案：
(1) 3 【点拨】
(1)连接 $Q_1Q_2$，$Q_2Q_3$，$Q_1Q_3$. 因为点 $Q_1(-2,1)$，$Q_2(-5,1)$，$Q_3(-5,5)$，所以 $Q_1Q_2 = 3$，$Q_2Q_3 = 4$，$Q_2Q_3 \perp Q_2Q_1$.
因为垂线段最短，所以 $Q_1Q_3 ＞ 4$.
所以点 $Q_1(-2,1)$，$Q_2(-5,1)$，$Q_3(-5,5)$ 的“最佳间距”是 $3$.
(2)$\pm 1$ 或 $2$ 或 $4$ 【点拨】连接 $OP$，$PE$. 因为点 $O(0,0)$，$E(2m,0)$，$P(2m,-2m + 3)$，所以 $PE \perp OE$，$OE = |2m|$，$PE = |-2m + 3|$. 因为垂线段最短，所以 $OE ＜ OP$，$PE ＜ OP$. 又因为点 $O$，$E$，$P$ 的“最佳间距”是 $1$，所以 $OE = 1$ 或 $PE = 1$. 所以 $2m = \pm 1$ 或 $-2m + 3 = \pm 1$. 当 $2m = 1$ 时，$|-2m + 3| = 2$，点 $O$，$E$，$P$ 的“最佳间距”是 $1$，符合题意；当 $2m = -1$ 时，$|-2m + 3| = 4$，点 $O$，$E$，$P$ 的“最佳间距”是 $1$，符合题意；当 $-2m + 3 = 1$ 时，$2m = 2$，点 $O$，$E$，$P$ 的“最佳间距”是 $1$，符合题意；当 $-2m + 3 = -1$ 时，$2m = 4$，点 $O$，$E$，$P$ 的“最佳间距”是 $1$，符合题意. 综上，当点 $O(0,0)$，$E(2m,0)$，$P(2m,-2m + 3)$ 的“最佳间距”为 $1$ 时，点 $P$ 的横坐标为 $\pm 1$ 或 $2$ 或 $4$.

13. 如图,在平面直角坐标系xOy中,四边形OABC为正方形,其边长为4．有一动点P,自点O出发,以每秒2个单位长度的速度沿$O→A→B→C→O$运动,则点P运动3或7秒时,$S_{\triangle PBC}= 4$？请求出此时点P的坐标．此时点P的坐标为(-4,-2)或(0,-2).

答案： 【解】因为四边形 $OABC$ 是正方形，
所以 $AO = BC = AB = OC = 4$，$\angle ABC = \angle BCO = 90^{\circ}$.
设点 $P$ 运动的时间为 $t$ 秒.
当点 $P$ 在 $OA$ 上时，易知 $S_{\triangle PBC} = 8$，不符合题意，舍去；
当点 $P$ 在 $AB$ 上时，因为 $S_{\triangle PBC} = 4$，所以 $\frac{1}{2} \times 4 \times PB = 4$，所以 $PB = 2$. 所以 $AP = 2$. 所以 $t = \frac{4 + 2}{2} = 3$，此时点 $P$ 的坐标为 $(-4,-2)$.
当点 $P$ 在 $OC$ 上时，因为 $S_{\triangle PBC} = 4$，所以 $\frac{1}{2} \times 4 \times PC = 4$. 所以 $PC = 2$. 所以 $OP = 2$. 所以 $t = \frac{4 + 4 + 4 + 2}{2} = 7$，此时点 $P$ 的坐标为 $(0,-2)$.
综上所述，当点 $P$ 运动的时间为 $3$ 秒或 $7$ 秒时，$S_{\triangle PBC} = 4$，此时点 $P$ 的坐标为 $(-4,-2)$ 或 $(0,-2)$.