《2025年综合应用创新题典中点八年级数学上册北师大版》

12. 新考向 数学文化 幻方是一种中国传统游戏,它是将从1到若干个数的自然数排成纵、横各为若干个数的正方形,使在同一行、同一列和同一对角线上的几个数的和都相等。类比幻方,我们给出如图所示的方格,要使方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等,则A,B,C,D之积为____20。

答案： 20 【点拨】对角线方向上的实数相乘的结果为$5\sqrt{2}\times\sqrt{10}\times\sqrt{2}=10\sqrt{10}$。根据方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等，得$A\times5\times\sqrt{2}=10\sqrt{10}$，解得$A=2\sqrt{5}$；$B\times\sqrt{10}\times10=10\sqrt{10}$，解得$B=1$；$5\times\sqrt{10}\times C=10\sqrt{10}$，解得$C=2$；$\sqrt{2}\times10\times D=10\sqrt{10}$，解得$D=\sqrt{5}$，所以$A$，$B$，$C$，$D$之积为$2\sqrt{5}\times1\times2\times\sqrt{5}=20$。

13. 请判断是否存在整数a,使它同时满足以下三个条件：
①二次根式$\sqrt{a - 13}和\sqrt{20 - a}$均有意义；
②$\sqrt{a}$的值仍为整数；
③若$b= \sqrt{a}$,则$\sqrt{b}$也是整数。
如果存在,请求出a的值。

答案： 【解】存在。因为二次根式$\sqrt{a-13}$和$\sqrt{20-a}$均有意义，所以$a-13\geq0$，$20-a\geq0$，解得$13\leq a\leq20$。
因为$\sqrt{a}$为整数，所以$a=16$。
当$a=16$时，$b=\sqrt{a}=4$，则$\sqrt{b}=2$，满足条件，
所以$a$的值为16。

14. 如图,将长和宽分别是a,b的长方形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形。
(1)用含a,b,x的代数式表示纸片剩余部分的面积；ab-4x²
(2)当$a = 20 + 2\sqrt{2},b = 20 - 2\sqrt{2},x= \sqrt{2}$时,求剩余部分的面积。384

答案： 【解】
(1) 纸片剩余部分的面积为$ab-4x^{2}$。
(2) 把$a=20+2\sqrt{2}$，$b=20-2\sqrt{2}$，$x=\sqrt{2}$代入$ab-4x^{2}$，得$(20+2\sqrt{2})(20-2\sqrt{2})-4\times(\sqrt{2})^{2}=20^{2}-(2\sqrt{2})^{2}-4\times2=400-8-8=384$。所以剩余部分的面积为384。

15. 新考法 阅读类比法 阅读下面的材料,解答问题：
两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含二次根式,那么我们就说这两个代数式互为有理化因式。例如：$\sqrt{a}与\sqrt{a},\sqrt{2}+1与\sqrt{2}-1$。这样,化简一个分母含有二次根式的式子时,采用分子、分母同乘分母的有理化因式的方法就可以了。例如：$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}= \frac{\sqrt{2}×\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}= \frac{\sqrt{6}}{3},\frac{2}{3 - \sqrt{3}}= \frac{2(3 + \sqrt{3})}{(3 - \sqrt{3})(3 + \sqrt{3})}= \frac{2(3 + \sqrt{3})}{9 - 3}= \frac{2(3 + \sqrt{3})}{6}= \frac{3 + \sqrt{3}}{3}$。
(1)请你写出$3+\sqrt{11}$的有理化因式：$3-\sqrt{11}$（答案不唯一）；
(2)请仿照上面给出的方法化简$\frac{1 - b}{1 - \sqrt{b}}(b\geqslant0且b\neq1)$；
原式$=\frac{(1-b)(1+\sqrt{b})}{(1-\sqrt{b})(1+\sqrt{b})}=\frac{(1-b)(1+\sqrt{b})}{1-b}=1+\sqrt{b}$。
(3)已知$a= \frac{1}{\sqrt{3}-2},b= \frac{1}{\sqrt{3}+2}$,求$\sqrt{a^{2}+b^{2}+2}$的值。
$a=\frac{1}{\sqrt{3}-2}=\frac{\sqrt{3}+2}{(\sqrt{3}-2)(\sqrt{3}+2)}=-\sqrt{3}-2$，
$b=\frac{1}{\sqrt{3}+2}=\frac{\sqrt{3}-2}{(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-2)}=-\sqrt{3}+2$。
$\sqrt{a^{2}+b^{2}+2}=\sqrt{(a+b)^2}=\vert a+b\vert$，
$a+b=(-\sqrt{3}-2)+(-\sqrt{3}+2)=-2\sqrt{3}$，
$\vert a+b\vert=\vert-2\sqrt{3}\vert=2\sqrt{3}$。

答案： 【解】
(1)$3-\sqrt{11}$（答案不唯一）
(2) 原式$=\frac{(1-b)(1+\sqrt{b})}{(1-\sqrt{b})(1+\sqrt{b})}=\frac{(1-b)(1+\sqrt{b})}{1-b}=1+\sqrt{b}$。
(3)$a=\frac{1}{\sqrt{3}-2}=\frac{\sqrt{3}+2}{(\sqrt{3}-2)(\sqrt{3}+2)}=-\sqrt{3}-2$，
$b=\frac{1}{\sqrt{3}+2}=\frac{\sqrt{3}-2}{(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-2)}=-\sqrt{3}+2$。