《2025年综合应用创新题典中点八年级数学上册北师大版》

1. 一个长方形抽屉长20cm,宽30cm,贴抽屉底面放一根木棒,那么这根木棒最长(取整厘米数,不计木棒粗细)可以是 (C)
A. 30cm
B. 35cm
C. 36cm
D. 37cm

答案： C

2. [2025西安未央区开学考试]如图,某自动感应门的正上方A处装着一个感应器,离地2.1米($AB = 2.1$米),当人体进入感应器的感应范围内时,感应门就会自动打开.一个身高1.6米的学生CD正对门,缓慢走到离门1.2米($BC = 1.2$米)的地方时,感应门自动打开,则人头顶离感应器的距离AD等于 (B)

A. 1.2米
B. 1.3米
C. 1.5米
D. 2米

答案： B

3. 情境题 生活应用 如图,一扇卷闸门用一块宽50cm,长120cm的长方形木板撑住,用这块木板最多可将这扇卷闸门撑起的高度为130cm.

答案： 130

4. 如图所示的人字梯撑开后侧面是一个等腰三角形,若梯子长AB等于2.5m,梯子完全撑开后顶端离地面的高度AD等于2.4m,则此时梯子侧面宽度BC等于1.4m.

答案： 1.4

5. 如图,某小区有一块四边形空地ABCD,为了美化小区环境,现计划在空地上铺上草坪,经测量$∠A = 90^{\circ}$,$AB = 20$米,$BC = 24$米,$CD = 7$米,$AD = 15$米.若铺一平方米草坪需要50元,则铺这块空地需要投入资金______11700元.

答案： 11700 [点拨]连接BD。
因为∠A = 90°，AB = 20米，AD = 15米，
所以BD² = AD² + AB² = 15² + 20² = 625。
因为BC = 24米，CD = 7米，
所以BC² + CD² = 24² + 7² = 625 = BD²，
所以△BDC是直角三角形，且∠C = 90°，
所以四边形ABCD的面积为S△ABD + S△BCD = $\frac{1}{2}$AB·AD + $\frac{1}{2}$BC·CD = $\frac{1}{2}$×20×15 + $\frac{1}{2}$×24×7 = 150 + 84 = 234（平方米），
所以铺这块空地需要投入资金234×50 = 11700（元）。

6. 立德树人 保护森林 爱护森林人人有责,如图(单位:cm)是某森林小队为该地区森林鸟类安装的木屋示意图,它为轴对称图形,求屋顶A到地面BM的距离.
[解]因为木屋为轴对称图形，
所以△ACD是等腰三角形。
作AE⊥CD，垂足为E。
由题意得CD = 30 + 2 = 32（cm），
所以CE = DE = 32×$\frac{1}{2}$ = 16（cm）。
因为AD = 20cm，所以AE² = 20² - 16² = 144。
所以AE = 12cm。
所以屋顶A到地面BM的距离为12 + 12 + 16 = 40（cm）。

答案： [解]因为木屋为轴对称图形，
所以△ACD是等腰三角形。
作AE⊥CD，垂足为E。
由题意得CD = 30 + 2 = 32（cm），
所以CE = DE = 32×$\frac{1}{2}$ = 16（cm）。
因为AD = 20cm，所以AE² = 20² - 16² = 144。
所以AE = 12cm。
所以屋顶A到地面BM的距离为12 + 12 + 16 = 40（cm）。

7. 新考法 平移法 如图,某会展中心在会展期间准备将高5m、长13m、宽2m的楼梯铺上地毯,已知地毯每平方米30元,请你帮忙计算一下,铺完这个楼梯至少需要1020元.

答案： 1020 [点拨]由勾股定理得AB² = AC² - BC² = 13² - 5² = 144，所以AB = 12m，所以地毯总长为12 + 5 = 17（m），所以地毯的总面积为17×2 = 34（m²），所以铺完这个楼梯至少需要34×30 = 1020（元）。

8. [2025淄博期中]我国古代数学著作《九章算术》第九章《勾股》中记载了这样的一个问题:“今有开门去阃(kǔn)一尺,不合二寸,问门广几何?”意思是:如图,推开两扇门AD和BC,门边缘D,C两点到门槛AB的距离是1尺,两扇门的间隙CD为2寸,则门宽AB是______寸(1尺= 10寸).

答案：
101 [点拨]如图，过点D作DE⊥AB于点E。设OA = OB = AD = BC = r寸。由题意得DE = 1尺 = 10寸，OE = $\frac{1}{2}$CD = 1寸，则AE = (r - 1)寸。在Rt△ADE中，AE² + DE² = AD²，即(r - 1)² + 10² = r²，

解得r = 50.5，所以AB = 2r = 101寸。