《2025年综合应用创新题典中点八年级数学上册北师大版》

8. 七年级某班有48名学生,所在教室有6行8列座位,用$(m,n)$表示第m行第n列的座位,新学期准备调整座位.设某个学生原来的座位为$(m,n)$,若调整后的座位为$(i,j)$,则称该生作了平移$[a,b]= [m-i,n-j]$,并称$a+b$为该生的位置数.某生的位置数为8,当$m+n$取最小值时,则mn的最大值为(A)
A. 25
B. 30
C. 36
D. 48

答案： A　[点拨]因为$[a,b]=[m - i,n - j]$，所以$a + b=m - i+n - j=m + n-(i + j)$。又因为$a + b = 8$，所以$m + n-(i + j)=8$，即$m + n=i + j + 8$。因为$1\leq i\leq6$，$1\leq j\leq8$，且i,j都是整数，所以$m + n$的最小值为10。当$m = 2$，$n = 8$时，$mn = 16$；当$m = 3$，$n = 7$时，$mn = 21$；当$m = 4$，$n = 6$时，$mn = 24$；当$m = 5$，$n = 5$时，$mn = 25$；当$m = 6$，$n = 4$时，$mn = 24$，所以$mn$的最大值为25，故选A。

9. 根据格子图填空.

(1)如果学校的位置用数对$(0,0)$表示,那么医院的位置应用数对(7,2)表示；
(2)经测量学校到医院的图上距离约为3.2cm(保留一位小数),实际距离约是6.4km；
(3)医院位于学校的北偏东74°方向上(用量角器测量角度,精确到$1^{\circ }$).

答案：
(1)7;2　
(2)3.2,6.4　
(3)北偏东$74^{\circ}$

10. [2025上海浦东新区期中]如图,在$5×5$的方格(每个小正方形的边长为1)内有1只甲虫,它爬行规律总是先左右,再上下.规定：向右与向上为正,向左与向下为负.从A到B的爬行路线记为：$A→B(+1,+4)$,从B到A的爬行路线为：$B→A(-1,-4)$,其中第一个数表示左右爬行信息,第二个数表示上下爬行信息.
(1)图中$B→D$(____,____),$C→B(-2$,____)；
(2)若甲虫的爬行路线为$A→B→C→D$,计算甲虫爬行的路程.
(3)若甲虫从点A出发,爬行路线依次为$(+2,+3),(-2,+1),(+3,-5),(-4,+2)$,最终到达点P处,请在图中标出点P的位置.

答案：
[解]
(1)$+3;-2;+1$
(2)由A到B的爬行路线为$(+1,+4)$，由B到C的爬行路线为$(+2,-1)$，由C到D的爬行路线为$(+1,-1)$，所以甲虫爬行的路程为$1 + 2+1 + 4+1 + 1 = 10$。
(3)如图，点P即为所求.
　　　　　　　

11. 新趋势 学科内综合 如图①,将射线OX按逆时针方向旋转$\beta ^{\circ }$,得到射线OY,如果点P为射线OY上的一点,且$OP= a$,那么我们规定用$(a,\beta )$表示点P在平面内的位置,并记为$P(a,\beta )$,例如,在图②中,如果$OM= 8,∠XOM= 110^{\circ }$,那么点M在平面内的位置记为$M(8,110)$,根据图形,解答下面的问题：
(1)如图③,如果点N在平面内的位置记为$N(6,30)$,那么$ON= $____,$∠XON= $____；
(2)如果点A,B在平面内的位置分别记为$A(5,30),B(12,120)$,求A,B两点之间的距离,并
画出图.

答案：
[解]
(1)6;$30^{\circ}$
(2)如图所示，因为$A(5,30)$，$B(12,120)$，所以$∠BOX = 120^{\circ}$，$∠AOX = 30^{\circ}$，$OA = 5$，$OB = 12$，所以$∠AOB = 90^{\circ}$，所以在$Rt△AOB$中，$AB=\sqrt{12^{2}+5^{2}} = 13$。