《2025年综合应用创新题典中点八年级数学上册北师大版》

11. 甲、乙两人从两地同时出发相向而行,甲每分钟走52米,乙每分钟走70米,在A点相遇;如果甲先走4分钟,然后甲的速度仍为每分钟52米,乙的速度变为每分钟90米,恰好还在A点相遇,则两地相距____2196米.

答案： 2 196

12. (14分)解下列方程组:
(1)$\begin{cases}x + 2y = - 4,\\x - y = 5;\end{cases}$
(2)$\begin{cases}\frac{x + y}{2} + \frac{x - y}{3} = 6,\\4(x + y) - 5(x - y) = 2.\end{cases}$

答案： $(1)$解方程组$\begin{cases}x + 2y = - 4&(a)\\x - y = 5&(b)\end{cases}$
解：
由$(b)$式$x - y = 5$可得$x=y + 5$，将其代入$(a)$式：
把$x=y + 5$代入$x + 2y = - 4$中，得到$(y + 5)+2y=-4$。
去括号得$y + 5+2y=-4$。
移项得$y+2y=-4 - 5$。
合并同类项得$3y=-9$。
系数化为$1$得$y=-3$。
把$y = - 3$代入$x=y + 5$，得$x=-3 + 5=2$。
所以方程组$\begin{cases}x + 2y = - 4\\x - y = 5\end{cases}$的解为$\begin{cases}x = 2\\y=-3\end{cases}$。
$(2)$解方程组$\begin{cases}\frac{x + y}{2}+\frac{x - y}{3}=6&(c)\\4(x + y)-5(x - y)=2&(d)\end{cases}$
解：
先对$(c)$式进行化简：
方程$\frac{x + y}{2}+\frac{x - y}{3}=6$两边同时乘以$6$去分母得：
$6×\frac{x + y}{2}+6×\frac{x - y}{3}=6×6$，
即$3(x + y)+2(x - y)=36$，
去括号得$3x + 3y+2x - 2y=36$，
合并同类项得$5x + y=36$ $ (e)$。
再对$(d)$式进行化简：
$4(x + y)-5(x - y)=2$，
去括号得$4x + 4y-5x + 5y=2$，
合并同类项得$-x + 9y=2$，变形为$x=9y - 2$ $ (f)$。
把$(f)$式$x=9y - 2$代入$(e)$式$5x + y=36$中：
$5(9y - 2)+y=36$，
去括号得$45y-10 + y=36$，
移项得$45y+y=36 + 10$，
合并同类项得$46y=46$，
系数化为$1$得$y = 1$。
把$y = 1$代入$(f)$式$x=9y - 2$，得$x=9×1 - 2=7$。
所以方程组$\begin{cases}\frac{x + y}{2}+\frac{x - y}{3}=6\\4(x + y)-5(x - y)=2\end{cases}$的解为$\begin{cases}x = 7\\y = 1\end{cases}$。
综上，$(1)$的解为$\boldsymbol{\begin{cases}x = 2\\y=-3\end{cases}}$；$(2)$的解为$\boldsymbol{\begin{cases}x = 7\\y = 1\end{cases}}$。

13. (15分)阅读以下内容:已知x,y满足$x + 2y = 5$,且满足$\begin{cases}3x + 7y = 5m - 3,\\2x + 3y = 8,\end{cases}$求m的值.
三名同学分别提出了自己的解题思路:
甲同学:先解关于x,y的方程组$\begin{cases}3x + 7y = 5m - 3,\\2x + 3y = 8,\end{cases}$再求m的值;
乙同学:先将方程组中的两个方程相加,再求m的值;
丙同学:先解方程组$\begin{cases}x + 2y = 5,\\2x + 3y = 8,\end{cases}$再求m的值.
(1)以上三名同学的解题思路中,正确的有2个,你最欣赏丙(填写“甲”或“乙”或“丙”)的思路;
(2)根据你所选的思路解答此题.
解：解方程组$\begin{cases}x + 2y = 5\\2x + 3y = 8\end{cases}$
由$x + 2y = 5$得$x = 5 - 2y$，将其代入$2x + 3y = 8$：
$2(5 - 2y)+3y=8$
$10 - 4y + 3y=8$
$-y=8 - 10$
$-y=-2$
$y=2$
把$y = 2$代入$x = 5 - 2y$，得$x = 5-2×2 = 1$。
把$x = 1$，$y = 2$代入$3x + 7y = 5m - 3$，得$3×1 + 7×2 = 5m - 3$，
即$3 + 14 + 3 = 5m$，
$20 = 5m$，
解得$m = $4。

答案： $(1)$判断解题思路的正确性
- 甲同学：通过解方程组$\begin{cases}3x + 7y = 5m - 3\\2x + 3y = 8\end{cases}$，求出$x$、$y$关于$m$的表达式，再代入$x + 2y = 5$，可以求出$m$的值，思路正确。
- 乙同学：将方程组$\begin{cases}3x + 7y = 5m - 3\\2x + 3y = 8\end{cases}$相加，无法直接得到与$x + 2y = 5$相关的有效信息来求解$m$，思路错误。
- 丙同学：先解方程组$\begin{cases}x + 2y = 5\\2x + 3y = 8\end{cases}$求出$x$、$y$的值，再代入$3x + 7y = 5m - 3$求出$m$的值，思路正确。
所以正确的有$2$个，最欣赏丙（答案不唯一，也可欣赏甲）的思路。
$(2)$按照丙同学的思路求解
解：解方程组$\begin{cases}x + 2y = 5&(a)\\2x + 3y = 8&(b)\end{cases}$
由$(a)$式得$x = 5 - 2y$，将其代入$(b)$式：
$\begin{aligned}2(5 - 2y)+3y&=8\\10 - 4y + 3y&=8\\ - y&=8 - 10\\ - y&=- 2\\y&=2\end{aligned}$
把$y = 2$代入$x = 5 - 2y$，得$x = 5-2×2 = 1$。
把$x = 1$，$y = 2$代入$3x + 7y = 5m - 3$，得$3×1 + 7×2 = 5m - 3$，
即$3 + 14 + 3 = 5m$，
$20 = 5m$，
解得$m = 4$。
综上，答案依次为：$(1)$$\boldsymbol{2}$；丙（或甲）；$(2)$$\boldsymbol{m = 4}$。

14. (16分)新考向传统文化朱仙镇木版年画是中国古老的传统工艺品之一,某文创商店购进“马上鞭”和“对花枪”两种木板年画作品,其进价和销售价如表所示:

(1)若文创商店购进两种木板年画作品共130张,正好用去3760元,则两种木板年画作品分别购进多少张?
购进“马上鞭”年画作品60张，“对花枪”年画作品70张.
(2)该文创商店某次出售两种木板年画作品(两种作品出售张数不为0),正好盈利6元,列出所有的销售方案.
销售方案有两种：①出售“马上鞭”年画作品1张，“对花枪”年画作品4张；②出售“马上鞭”年画作品2张，“对花枪”年画作品2张.

答案： 【解】
(1)设购进“马上鞭”年画作品$x$张，“对花枪”年画作品$y$张，
根据题意，得$\left\{\begin{array}{l} x+y=130,\\ 23x+34y=3760,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} x=60,\\ y=70,\end{array}\right. $
所以，购进“马上鞭”年画作品 60 张，“对花枪”年画作品 70 张.
(2)设出售“马上鞭”年画作品$a$张，“对花枪”年画作品$b$张，
根据题意，得$(25-23)a+(35-34)b=6$，
即$2a+b=6$，
这个方程的正整数解有$\left\{\begin{array}{l} a=1,\\ b=4,\end{array}\right. \left\{\begin{array}{l} a=2,\\ b=2.\end{array}\right. $
所以，销售方案有两种：①出售“马上鞭”年画作品 1 张，“对花枪”年画作品 4 张；②出售“马上鞭”年画作品 2 张，“对花枪”年画作品 2 张.