《2025年综合应用创新题典中点八年级数学上册北师大版》

1. [2025杭州萧山区期中]如图,在$Rt△ABC$中,分别以这个三角形的三边为边向外侧作正方形,面积分别记为$S_{1},S_{2},S_{3}$,若$S_{2}+S_{3}-S_{1}= 24$,则图中阴影部分的面积为(A)

A. 6
B. 12
C. 10
D. 8

答案： A

2. 如图,分别以$Rt△ABC的三边为斜边向外作Rt△ADC,Rt△CEB,Rt△AFB$,且$AD= DC,EC= EB,FA= FB,∠ADC= ∠CEB= ∠AFB= 90^{\circ }$,这三个直角三角形的面积分别为$S_{1},S_{2},S_{3}$,且$S_{1}= 9,S_{2}= 16$,则$S_{3}=$(A)

A. 25
B. 28
C. 30
D. 35

答案： A

3. 新考向 数学文化 如图,$Rt△ABC$中,$∠ACB= 90^{\circ }$,分别以各边为直径作半圆,图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”,当$AC= 4,BC= 6$时,阴影部分的面积为____12.

答案： 12

4. [2025成都武侯区月考]如图,四个全等的直角三角形围成一个大正方形$ABCD$,中间阴影部分是一个小正方形$EFGH$,这样就组成一个“赵爽弦图”,若$AB= 5,AE= 4$,则正方形$EFGH$的面积为____1.

答案： 1

5. 勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中,汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅如图①所示的“弦图”,后人称之为“赵爽弦图”,图②是由弦图变化得到的,它是由八个全等的直角三角形拼接而成的,记图中正方形$ABCD$,正方形$EFGH$,正方形$MNXT的面积分别为S_{1},S_{2},S_{3}$,若$S_{1}+S_{2}+S_{3}= 24$,求正方形$EFGH$的面积.

(8)

答案： 【解】设八个全等的直角三角形的两直角边长分别为 $ a $，$ b ( a ＞ b ) $，则 $ S _ { 1 } = ( a + b ) ^ { 2 } $，$ S _ { 2 } = a ^ { 2 } + b ^ { 2 } $，$ S _ { 3 } = ( a - b ) ^ { 2 } $。
因为 $ S _ { 1 } + S _ { 2 } + S _ { 3 } = 24 $，所以 $ ( a + b ) ^ { 2 } + a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + ( a - b ) ^ { 2 } = 24 $。所以 $ 3 ( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } ) = 24 $。所以 $ a ^ { 2 } + b ^ { 2 } = 8 $，即正方形 $ EFGH $ 的面积为 8。