《2025年真题圈七年级数学下册北师大版陕西专版》

1. (月考·22 - 23 西安高新一中)如果$a = 99^{0},b = (-2)^{-1},c = (-\frac{1}{3})^{-2}$，那么$a,b,c$的大小关系为( )
A. $a＞b＞c$
B. $c＞a＞b$
C. $a＞c＞b$
D. $c＞b＞a$

答案： B【解析】$a = 1,b = -\frac{1}{2},c = 9$，故$c ＞ a ＞ b$. 故选B.

2. 若$63 = 3^{a}\times7$，则我们可以得到$a = 2$。已知$a,b,c$为正整数，且满足$2^{a}\times3^{b}\times4^{c}=384$，则$a + b + c$的取值不可能是( )
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8

答案： D【解析】根据题意，得$2^{a + 2c}\cdot3^{b}=2^{7}\times3$，
所以$a + 2c = 7,b = 1$.
因为$a,b,c$为正整数，所以当$c = 1$时，$a = 5$；
当$c = 2$时，$a = 3$；当$c = 3$时，$a = 1$，
所以$a + b + c$不可能为8. 故选D.

3. (月考·23 - 24 西安铁一中陆港)若$x^{m - 2}\cdot x^{2m}=x^{4}$，则$m^{2}-1=$______。

答案： 3【解析】因为$x^{m - 2}\cdot x^{2m}=x^{m - 2 + 2m}=x^{4}$，
所以$m - 2 + 2m = 4$，解得$m = 2$，所以$m^{2}-1 = 2^{2}-1 = 3$.
故答案为3.

4. (月考·23 - 24 西安曲江一中)若$m,n$满足$3m - n - 4 = 0$，则$8^{m}\div2^{n}=$______。

答案： 16【解析】因为$3m - n - 4 = 0$，所以$3m - n = 4$，所以$8^{m}\div2^{n}=2^{3m}\div2^{n}=2^{3m - n}=2^{4}=16$. 故答案为16.

5. (月考·23 - 24 陕师大附中)若$(x - 5)^{x - 1}=1$，则$x$的值为______。

答案： 6或1【解析】①1的任何次幂都为1，故$x - 5 = 1$，则$x = 6$；② -1的偶数次幂为1，故$x - 5 = -1$，且$x - 1$为偶数，经计算，$x$不存在；③任何不等于零的数的零次幂为1，故$x - 1 = 0$，且$x - 5\neq0$，解得$x = 1$. 综上，符合题意的$x$的值为6或1.
故答案为6或1.

6. (月考·22 - 23 西安铁一中)已知$4^{x}=a,2^{y}=b,8^{z}=ab$，那么$x,y,z$满足的等量关系是______。

答案： $3z = 2x + y$【解析】因为$4^{x}=a,2^{y}=b,8^{z}=ab$，所以$8^{z}=4^{x}\times2^{y}$，即$2^{3z}=2^{2x}\times2^{y}$，所以$2^{3z}=2^{2x + y}$，所以$3z = 2x + y$.
故答案为$3z = 2x + y$.

7. 解答下列各题：
(1) 若$2^{x + 3}\cdot3^{x + 3}=36^{x - 2}$，则$x$的值是多少？
(2) 已知$10^{-2\alpha}=3,10^{-\beta}=\frac{1}{5}$，求$10^{2\alpha - 2\beta}$的值。

答案： 【解】
(1)因为$2^{x + 3}\cdot3^{x + 3}=36^{x - 2}$，所以$(2\times3)^{x + 3}=6^{2x - 4}$，
则$6^{x + 3}=6^{2x - 4}$，所以$x + 3 = 2x - 4$，解得$x = 7$.
(2)因为$10^{-2\alpha}=3,10^{-\beta}=\frac{1}{5}$，所以$10^{2\alpha}=\frac{1}{3},10^{\beta}=5$，
所以$10^{2\alpha - 2\beta}=10^{2\alpha}\div10^{2\beta}=10^{2\alpha}\div(10^{\beta})^{2}$
$=\frac{1}{3}\div5^{2}=\frac{1}{3}\times\frac{1}{25}=\frac{1}{75}$.

8. (期中·22 - 23 西安曲江一中改编)已知$ab = a + b + 2025$，则$(a - 1)\cdot(b - 1)$的值为______。

答案： 2026【解析】因为$ab = a + b + 2025$，
所以$(a - 1)(b - 1)=ab - a - b + 1 = a + b + 2025 - a - b + 1 = 2026$.
故答案为2026.

9. (期末·22 - 23 西安铁一中)已知$2x^{2}-x - 5 = 0$，则$4x^{4}-4x^{3}+x^{2}$的值为______。

答案： 25【解析】因为$2x^{2}-x - 5 = 0$，所以$2x^{2}=x + 5$，
所以$4x^{4}=2x^{2}\cdot2x^{2}=(x + 5)\cdot2x^{2}=2x^{3}+10x^{2}$，$2x^{3}=x^{2}+5x$，$10x^{2}=5x + 25$，
所以$4x^{4}-4x^{3}+x^{2}=2x^{3}+10x^{2}-4x^{3}+x^{2}=-2x^{3}+11x^{2}$
$=-x^{2}-5x + 11x^{2}=10x^{2}-5x = 5x + 25 - 5x = 25$. 故答案为25.