《2025年真题圈七年级数学下册北师大版陕西专版》

20.（月考·23 - 24西安铁一中）（5分）如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CD⊥AD于点D，CB⊥AB于点B.
（1）试说明：CD = CB.
（2）连接BD，交AC于点E，试说明：AC垂直平分BD.

答案： [解]
(1)因为CD⊥AD,CB⊥AB,
所以∠CDA = ∠CBA = 90°.
因为AC平分∠BAD,
所以∠CAD = ∠CAB.
又因为AC = AC,
所以△ACD ≌△ACB(AAS),
所以CD = CB.
(2)因为△ACD ≌△ACB,
所以∠DCE = ∠BCE.
又因为CD = CB,CE = CE,
所以△CDE ≌△CBE(SAS),
所以DE = BE,∠CED = ∠CEB.
因为∠CED + ∠CEB = 180°,
所以∠CED = ∠CEB = 90°,
所以AC⊥BD,
所以AC垂直平分BD.

21.（6分）如图，在△ABC中，AB = AC，D，E是BC边上的点，连接AD，AE，以△ADE的边AE所在直线为对称轴作△ADE的轴对称图形△AD'E，连接D'C，BD = CD'.
（1）试说明：△ABD≌△ACD'.
（2）若∠BAC = 120°，求∠DAE的度数.

答案： [解]
(1)因为以△ADE的边AE所在直线为对称轴作△ADE的轴对称图形△AD'E,所以AD = AD'.
因为在△ABD和△ACD'中,AB = AC,BD = CD',AD = AD',
所以△ABD ≌△ACD'(SSS).
(2)因为△ABD ≌△ACD',所以∠BAD = ∠CAD',
所以∠BAC = ∠DAD' = 120°.
因为以△ADE的边AE所在直线为对称轴作△ADE的轴对称图形△AD'E,所以∠DAE = ∠D'AE = $\frac{1}{2}$∠DAD' = 60°,
所以∠DAE的度数为60°.

22.（月考·22 - 23西安八十五中）（7分）在等腰三角形ABC中，AD⊥BC交直线BC于点D，若AD = $\frac{1}{2}$BC，求等腰三角形ABC顶角的度数.（要求先画图，再写出解答过程）

答案：
[解]①当AB = AC时,如图①.
因为AD = $\frac{1}{2}$BC,所以AD = BD = CD,
所以∠B = ∠BAD,∠C = ∠CAD.
因为∠BAC + ∠B + ∠C = 180°,∠BAC = ∠BAD + ∠CAD,
所以∠BAD + ∠CAD + ∠B + ∠C = 180°,
所以∠BAD + ∠CAD = $\frac{1}{2}$×180° = 90°.
因为AB = AC,所以顶角∠BAC = 90°.

②当BC = BA时,如图②.
因为AD = $\frac{1}{2}$BC,AB = BC,
所以AB = 2AD.
延长AD至点E,使ED = AD,则AE = 2AD = AB.
连接BE,因为AD = DE,BD⊥AE,所以BE = AB,
所以AB = AE = BE,
所以△ABE为等边三角形,
所以∠BAD = 60°,
所以∠ABD = 90° - 60° = 30°.
故等腰三角形ABC的顶角为30°.
综上,等腰三角形ABC顶角的度数为90°或30°.