《2025年真题圈七年级数学下册北师大版陕西专版》

12.(期中·22 - 23西安行知中学改编)已知直线l₁//l₂,直线l₃交直线l₁,l₂于点C,D,在直线l₃上有动点P(点P与点C,D不重合),点A,B在直线l₃的左侧,并分别在直线l₁和直线l₂上.
　　问题发现:
　　(1)如图①,当点P在C,D两点之间运动时,∠PAC,∠APB,∠PBD之间的数量关系为____________________.
　　拓展探究:
　　(2)如图②,当点P在C,D两点之外运动时,试探究∠PAC,∠APB,∠PBD之间的数量关系.
　　问题解决:
　　(3)如图③所示的是一处海滨公园的平面图,由于潮汐的作用,形成了∠BPD形状的沙滩,试探究∠BPD,∠PBA,∠PDC,∠BQD之间的数量关系.

答案：
[解]
(1)∠APB =∠PAC +∠PBD
分析:如图①,过点P作PE//l₁.
因为l₁//l₂,所以PE//l₁//l₂,
所以∠PAC =∠APE,∠PBD =∠BPE,
所以∠APB =∠APE +∠BPE =∠PAC +∠PBD.


(2)①当点P在点C上方时,如图②所示,∠APB =∠PBD -∠PAC.
理由:过点P作PF//l₁,则∠FPA =∠PAC.
因为l₁//l₂,所以PF//l₂,所以∠FPB =∠PBD,
所以∠APB =∠FPB -∠FPA =∠PBD -∠PAC.
②当点P在点D下方时,如图③所示,∠APB +∠PBD =∠PAC.
理由:过点P作PM//l₁,则∠MPA =∠PAC.
因为l₁//l₂,所以PM//l₂,所以∠MPB =∠PBD,
所以∠APB =∠MPA -∠MPB =∠PAC -∠PBD,
即∠APB +∠PBD =∠PAC.
综上可得,当点P在点C上方时,∠APB =∠PBD -∠PAC;当点P在点D下方时,∠APB +∠PBD =∠PAC.
(3)如图④,过点B作BE//CD,过点P作PF//CD,
所以BE//PF//CD,
所以∠EBQ =∠BQD,∠EBP =∠BPF,∠FPD =∠PDC.
因为∠BPD =∠BPF +∠FPD,∠EBP =∠EBA +∠PBA,
所以∠BPD =∠EBQ +∠PBA +∠PDC =∠BQD +∠PBA +∠PDC.