《2025年真题圈七年级数学下册北师大版陕西专版》

26.(期中·22 - 23陕师大附中)(10分)已知直线EF分别交直线AB,CD于点G,H,且∠AGH + ∠DHF = 180°.
(1)如图①,试说明:AB//CD.
(2)如图②,点M,N分别在射线GE,HF上,点P,Q分别在射线GA,HC上,连接MP,NQ,且∠MPG+∠NQH = 90°,分别延长MP,NQ交于点K,试说明:MK⊥NK.
(3)如图③,在(2)的条件下,连接KH,若KH平分∠MKN,且HE平分∠KHD,∠DHG = 5∠MPG,请直接写出∠KMN的度数.

　　　　　　　　　　　第26题图

答案：
[解]
(1)因为∠AGH + ∠DHF = 180°，∠DHF = ∠EHC，
所以∠AGH + ∠EHC = 180°，所以AB//CD.
(2)如图①，过点K作KO//AB.
由
(1)知AB//CD，所以KO//CD.
因为KO//AB，
所以∠MPG = ∠1.
因为KO//CD，所以∠NQH = ∠2.
因为∠MPG + ∠NQH = 90°，
所以∠1 + ∠2 = 90°，则∠MKN = 90°，即MK⊥NK.

(3)∠KMN = 60°.
分析:如图②，过点M作MT//AB，过点K作KR//AB.
因为AB//CD，所以MT//AB//CD//KR.
因为KH平分∠MKN，∠MKN = 90°，
所以∠MKH = ∠NKH = 45°.
因为∠DHG = 5∠MPG，
所以设∠DHG = 5x，则∠MPG = x.
因为HE平分∠KHD，
所以∠KHM = ∠DHG = 5x，所以∠KHD = 10x，
所以∠KHQ = 180° - 10x.
因为CD//KR，所以∠RKH = ∠KHQ = 180° - 10x.
因为MT//AB//KR，
所以∠TMP = ∠MKR = ∠MPG = x，∠TMH = ∠MHD = 5x.
因为∠MKH = 45°，
所以∠RKH + ∠MKR = 180° - 10x + x = 45°，所以x = 15°.
因为∠KMN = ∠TMH - ∠TMP，
所以∠KMN = 5x - x = 4x = 60°.