《2025年真题圈七年级数学下册北师大版陕西专版》

21. (期中·22 - 23 西安曲江一中改编)从边长为$a$的正方形中剪掉一个边长为$b$的正方形(如图①)，然后将剩余部分拼成一个长方形(如图②)。

(1) 上述操作能验证的等式是______（只填序号）。
①$a^{2}-2ab + b^{2}=(a - b)^{2}$；
②$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$；
③$a^{2}+2ab + b^{2}=(a + b)^{2}$。
(2) 应用你从(1)中选出的等式，完成下列各题：
① 已知$x^{2}-4y^{2}=18,x + 2y = 4$，求$x - 2y$的值；
② 计算：$2000^{2}-2001^{2}+2002^{2}-2003^{2}+\cdots+2030^{2}-2031^{2}$。

答案： 【解】
(1)②
(2)①$x^{2}-4y^{2}=(x + 2y)(x - 2y)=18$，
因为$x + 2y = 4$，
所以$4(x - 2y)=18$，
所以$x - 2y=\frac{9}{2}$.
②原式$=(2000 - 2001)\times(2000 + 2001)+(2002 - 2003)\times(2002 + 2003)+\cdots+(2030 - 2031)\times(2030 + 2031)=-64496$.

22. (期中·23 - 24 西安曲江一中)已知$(a + b)^{2}=29,(a - b)^{2}=13$，则$ab$的值为______。

答案： 4【解析】因为$(a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2},(a - b)^{2}=a^{2}-2ab + b^{2}$，
所以$(a + b)^{2}-(a - b)^{2}=4ab$，所以$29 - 13 = 4ab$，
所以$ab = 4$. 故答案为4.

23. (期中·22 - 23 陕师大附中)已知$x+\frac{1}{x}=3$，则$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=$______。

答案： 7【解析】因为$x+\frac{1}{x}=3$，所以$(x+\frac{1}{x})^{2}=3^{2}$，
所以$x^{2}+2+\frac{1}{x^{2}}=9$，所以$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=7$. 故答案为7.

24. (月考·23 - 24 西安铁一中陆港)已知$x^{2}-3xy + 6 = 0,y^{2}+xy - 7 = 0$，则$x - y$的值为______。

答案： $\pm1$【解析】由$x^{2}-3xy + 6 = 0,y^{2}+xy - 7 = 0$，
得$(x^{2}-3xy + 6)+(y^{2}+xy - 7)=x^{2}-2xy + y^{2}-1 = 0$，
所以$x^{2}-2xy + y^{2}=1$.
因为$(x - y)^{2}=x^{2}-2xy + y^{2}$，
所以$(x - y)^{2}=1$，则$x - y=\pm1$. 故答案为$\pm1$.

25. (月考·23 - 24 西安铁一中)若$x,y$是自然数且满足$x^{2}+y^{2}=4x + 4y - 7$，则$x - y = $______。

答案： 5或3【解析】因为$x^{2}+y^{2}=4x + 4y - 7$，所以$x^{2}+y^{2}-4x - 4y + 7 = 0$，
所以$x^{2}-4x + 4+y^{2}-4y + 4-1 = 0$，则$(x - 2)^{2}+(y - 2)^{2}=1$.
因为$x,y$是自然数，
所以$(x - 2)^{2}=0,(y - 2)^{2}=1$或$(x - 2)^{2}=1,(y - 2)^{2}=0$.
①当$(x - 2)^{2}=0,(y - 2)^{2}=1$时，$x = 2,y = 3$或$y = 1$，
所以$x + y = 2+3 = 5$或$x + y = 2+1 = 3$.
②当$(x - 2)^{2}=1,(y - 2)^{2}=0$时，
$x = 3$或$x = 1,y = 2$，所以$x + y = 3+2 = 5$或$x + y = 1+2 = 3$.
故答案为5或3.

26. (月考·22 - 23 西安滨河学校)已知有理数$x,y$满足$x + y = 3$，则代数式$x^{2}+3y^{2}+2y + 5$的最小值是______。

答案： 13【解析】因为$x + y = 3$，所以$x = 3 - y$，
所以$x^{2}+3y^{2}+2y + 5=(3 - y)^{2}+3y^{2}+2y + 5$
$=9 - 6y + y^{2}+3y^{2}+2y + 5 = 4y^{2}-4y + 14$.
因为$(2y - 1)^{2}=4y^{2}-4y + 1\geq0$，
所以原式$=4y^{2}-4y + 1+13=(2y - 1)^{2}+13\geq13$，
所以代数式$x^{2}+3y^{2}+2y + 5$的最小值是13.
故答案为13.