《2025年真题圈七年级数学下册北师大版陕西专版》

25.（月考·23 - 24西安铁一中陆港改编）（8分）如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影部分拼成如图②所示的长方形.
(1)根据图①和图②的阴影部分的面积关系，可以验证______________（填“平方差公式”或“完全平方公式”）.
(2)运用以上公式计算：
$(1-\frac{1}{2^{2}})\times(1-\frac{1}{3^{2}})\times(1-\frac{1}{4^{2}})\times(1-\frac{1}{5^{2}})\times\cdots\times(1-\frac{1}{2025^{2}})\times(1-\frac{1}{2026^{2}})$.
(3)如图③，100个圆由小到大套在一起，从外向里相间画阴影，最外面的圆的半径为100 cm，向里依次为99 cm，98 cm，$\cdots$，1 cm，那么在这个图形中，阴影部分的面积和是多少？（结果保留$\pi$）
　　　　　　　　　

答案： 【解】
(1)平方差公式
(2)$(1-\frac{1}{2^{2}})\times(1-\frac{1}{3^{2}})\times(1-\frac{1}{4^{2}})\times(1-\frac{1}{5^{2}})\times\cdots\times(1-\frac{1}{2025^{2}})\times(1-\frac{1}{2026^{2}})$
$=(1+\frac{1}{2})\times(1-\frac{1}{2})\times(1+\frac{1}{3})\times(1-\frac{1}{3})\times(1+\frac{1}{4})\times(1-\frac{1}{4})\times(1+\frac{1}{5})\times(1-\frac{1}{5})\times\cdots\times(1+\frac{1}{2025})\times(1-\frac{1}{2025})\times(1+\frac{1}{2026})\times(1-\frac{1}{2026})$
$=(1+\frac{1}{2})\times(1+\frac{1}{3})\times(1+\frac{1}{4})\times(1+\frac{1}{5})\times\cdots\times(1+\frac{1}{2025})\times(1+\frac{1}{2026})\times(1-\frac{1}{2})\times(1-\frac{1}{3})\times(1-\frac{1}{4})\times(1-\frac{1}{5})\times\cdots\times(1-\frac{1}{2025})\times(1-\frac{1}{2026})$
$=\frac{3}{2}\times\frac{4}{3}\times\frac{5}{4}\times\frac{6}{5}\times\cdots\times\frac{2026}{2025}\times\frac{2027}{2026}\times\frac{1}{2}\times\frac{2}{3}\times\frac{3}{4}\times\frac{4}{5}\times\cdots\times\frac{2024}{2025}\times\frac{2025}{2026}=\frac{2027}{2}\times\frac{1}{2026}=\frac{2027}{4052}$.
(3)$100^{2}\pi-99^{2}\pi+98^{2}\pi-97^{2}\pi+\cdots+4^{2}\pi-3^{2}\pi+2^{2}\pi-1^{2}\pi$
$=\pi(100^{2}-99^{2}+98^{2}-97^{2}+\cdots+4^{2}-3^{2}+2^{2}-1^{2})$
$=\pi[(100 + 99)\times(100 - 99)+(98 + 97)\times(98 - 97)+\cdots+(4 + 3)\times(4 - 3)+(2 + 1)\times(2 - 1)]$
$=\pi(100 + 99+98 + 97+\cdots+4 + 3+2 + 1)$
$=\pi\cdot\frac{100\times(1 + 100)}{2}=5050\pi(cm^{2})$.
答：阴影部分的面积为$5050\pi cm^{2}$.