《2025年真题圈七年级数学下册北师大版陕西专版》

16. (月考·23 - 24 西安爱知中学)先阅读小亮解答的问题(1)，再仿照他的方法解答问题(2)。
问题(1)：计算$3.1468\times7.1468 - 0.1468^{2}$。
小亮的解答如下：
解：设$0.1468 = a$，则$3.1468 = a + 3$，$7.1468 = a + 7$，
原式$=(a + 3)(a + 7)-a^{2}=a^{2}+10a + 21 - a^{2}=10a + 21$。
把$a = 0.1468$代入，得
原式$=10\times0.1468 + 21 = 22.468$，
所以$3.1468\times7.1468 - 0.1468^{2}=22.468$。
问题(2)：计算$202104\times202105 - 202103\times202106$。

答案： 【解】设$202104 = a$，
则$202105 = a + 1,202103 = a - 1,202106 = a + 2$，
则$202104\times202105-202103\times202106$
$=a(a + 1)-(a - 1)(a + 2)$
$=(a^{2}+a)-(a^{2}+a - 2)$
$=a^{2}+a - a^{2}-a + 2$
$=2$.

17. (月考·22 - 23 西安铁一中)如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”。下列数中为“幸福数”的是( )
A. 285
B. 330
C. 512
D. 582

答案： C【解析】设“幸福数”为$(2n + 1)^{2}-(2n - 1)^{2}$（$n$为整数），因为$(2n + 1)^{2}-(2n - 1)^{2}=[(2n + 1)+(2n - 1)][(2n + 1)-(2n - 1)]=4n\times2 = 8n$，所以“幸福数”是8的倍数. 观察各选项，是8的倍数的只有512. 故选C.

18. (期中·23 - 24 西安铁一中)已知$a + b = 1$，则代数式$a^{2}-b^{2}+2b$的值为______。

答案： 1【解析】因为$a + b = 1$，
所以$(a + b)(a - b)=a^{2}-b^{2}=a - b$，
所以$a^{2}-b^{2}+2b=a - b + 2b=a + b = 1$.
故答案为1.

19. (期中·22 - 23 西安行知中学)有三个连续的正整数$n - 1,n,n + 1$，以$n$为边长作正方形，记其面积为$S_{正}$；以$n + 1,n - 1$为长和宽作长方形，记其面积为$S_{长}$，则$S_{正}-S_{长}=$______。

答案： 1【解析】由题意可得$S_{正}=n^{2},S_{长}=(n + 1)(n - 1)=n^{2}-1$，
故$S_{正}-S_{长}=n^{2}-(n^{2}-1)=n^{2}-n^{2}+1 = 1$.
故答案为1.

20. (月考·23 - 24 西安爱知中学)已知有理数$a = 2\times(3 + 1)\times(3^{2}+1)\times(3^{4}+1)\times(3^{8}+1)\times(3^{16}+1)\times(3^{32}+1)+2$，则有理数$a$的个位数字是______。

答案： 2【解析】$a=(3 - 1)\times(3 + 1)\times(3^{2}+1)\times(3^{4}+1)\times(3^{8}+1)\times(3^{16}+1)\times(3^{32}+1)+2$
$=(3^{2}-1)\times(3^{2}+1)\times(3^{4}+1)\times(3^{8}+1)\times(3^{16}+1)\times(3^{32}+1)+2$
$=(3^{4}-1)\times(3^{4}+1)\times(3^{8}+1)\times(3^{16}+1)\times(3^{32}+1)+2$
$=(3^{8}-1)\times(3^{8}+1)\times(3^{16}+1)\times(3^{32}+1)+2$
$=(3^{16}-1)\times(3^{16}+1)\times(3^{32}+1)+2$
$=(3^{32}-1)\times(3^{32}+1)+2$
$=3^{64}-1+2 = 3^{64}+1$.
$3^{1}=3,3^{2}=9,3^{3}=27,3^{4}=81,3^{5}=243,3^{6}=729,\cdots$，可知$3^{n}$的个位数字以3,9,7,1每四个一循环.
因为$64 = 4\times16$，所以$3^{64}$的个位数字为1，
则$a$的个位数字是$1 + 1 = 2$.
故答案为2.