《2025年真题圈七年级数学下册北师大版陕西专版》

24.类比探究(月考·22 - 23西安铁一中)(8分)阅读材料后解决问题,小明遇到下面一个问题:
计算$(2 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1).$
经过观察,小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构,进而可以应用平方差公式解决问题,具体解法如下:
$(2 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)$
$=(2 - 1)(2 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)$
$=(2^2 - 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)$
$=(2^4 - 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)$
$=(2^8 - 1)(2^8 + 1)$
$= 2^16 - 1.$
请你根据小明解决问题的方法,试着解决以下的问题:
$(1)(2 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)(2^16 + 1).$
$(2)(3 + 1)(3^2 + 1)(3^4 + 1)(3^8 + 1)(3^16 + 1).$

答案： [解]
(1)原式=(2−1)(2+1)(2²+1)(24+1)(2⁸+1)(2¹6+1)=(2²−1)(2²+1)(2+1)(2⁸+1)(2¹6+1)=(2−1)(2+1)(2⁸+1)(2¹⁶+1)=(28−1)(28+1)(2¹⁶+1)=(216−1)(216+1)=23−1.
(2)原式=$\frac{1}{2}$×[(3−1)(3+1)(3²+1)(3⁴+1)(3⁸+1)(3¹⁶+1)]=$\frac{1}{2}$×[(3²−1)(3²+1)(3⁴+1)(3⁸+1)(3¹⁶+1)]=$\frac{1}{2}$×[(3⁴−1)(3⁴+1)(3⁸+1)(3¹6+1)]=$\frac{1}{2}$×[(3−1)(3⁸+1)(3¹6+1)]=$\frac{1}{2}$×[(3¹6−1)(316+1)]=$\frac{332−1}{2}$,