《2025年真题圈七年级数学下册北师大版陕西专版》

23.(期中·23 - 24西安爱知中学)(7分)小明发现:三个连续的正整数,中间正整数的平方的3倍与2的和等于这三个正整数的平方和.
(1)验证:请把$3\times2^{2}+2$表示成三个连续的正整数的平方和.
(2)探究:设小明"发现"中的中间正整数为n,请用含n的式子表示"发现"内容,并说明"发现"中结论的正确性.

答案：
(1)因为3×2²+2=14,1²+2²+3²=14,
所以3×2²+2=1²+2²+3².
(2)由题意,3n²+2=(n−1)²+n²+(n+1)².
验证右边=n²−2n+1+n²+n²+2n+1=3n²+2=左边.
所以等式成立，“发现”中结论正确

24.(8分)在一个不透明的抽奖袋中装有红色、黄色、白色、黑色四种除颜色外都相同的小球,从袋子中随机摸出1个球,红球、黄球、白球分别代表一、二、三等奖,黑球表示谢谢参与.
(1)若小明获得1次抽奖机会,则小明中奖是________事件.(填"随机""必然"或"不可能")
(2)小明观察后发现,平均每8个人中有1人抽中一等奖,2人抽中二等奖,3人未获奖.若袋中共有24个球,请你计算袋中白球的数量.
(3)在(2)的条件下,如果在抽奖袋中增加两个黄球,抽中一等奖的概率会怎样变化? 请说明理由.继续添加小球,能否使抽中一等奖的概率还原? 若能,请设计一种添加方案;若不能,请说明理由.

答案：
(1)随机
(2)由题意得，获得三等奖的概率为$\frac{8−1−2−3}{8}$=$\frac{1}{4}$,
所以袋中共有白球24×$\frac{1}{4}$=6(个).
(3)降低.理由:由
(2)知袋中有红球3个,黄球6个,白球6个,黑球9个，再加入2个黄球，球的总数为26个，而红球还是3个，因此摸到红球的概率为$\frac{3}{26}$,所以抽中一等奖的概率降低了，能.设加入1个红球，x个其他颜色的球，因为要使摸到红球的概率为$\frac{1}{8}$,所以有$\frac{1}{8}$(26+x+1)=3+1,解得x=5.
设计方案:添加1个红球,5个其他颜色的球.(答案不唯一)