《2025年真题圈七年级数学下册北师大版陕西专版》

22.(月考·23 - 24西安尊德中学)某学习小组发现一个结论:已知直线a//b,若直线c//a,则c//b.他们发现这个结论运用很广,请你利用这个结论解决以下问题:
已知直线AB//CD,点E在AB,CD之间,点P,Q分别在直线AB,CD上,连接PE,EQ.
(1)如图①,运用上述结论,探究∠PEQ与∠APE+∠CQE之间的数量关系,并说明理由.
(2)如图②,PF平分∠BPE,QF平分∠EQD,当∠PEQ = 140°时,求出∠PFQ的度数.
(3)如图③,若点E在CD的下方,PF平分∠BPE,QH平分∠EQD,QH的反向延长线交PF于点F.当∠PEQ = 70°时,求出∠PFQ的度数.
　　　

答案：
[解]
(1)∠PEQ=∠APE+∠CQE,
理由如下:
如图①,过点E作EH//AB,
所以∠APE=∠PEH;
因为EH//AB,AB//CD,
所以EH//CD,
所以∠CQE=∠QEH.
因为∠PEQ=∠PEH+∠QEH,
所以∠PEQ=∠APE+∠CQE.
(2)如图②,过点E作EM//AB,
同理可得,∠PEQ=∠APE+∠CQE=140°.
因为∠BPE=180°−∠APE,∠EQD=180°−∠CQE,
所以∠BPE+∠EQD=360°−(∠APE+∠CQE)=220°.
因为PF平分∠BPE,QF平分∠EQD,
所以∠BPF=$\frac{1}{2}$∠BPE,∠DQF=$\frac{1}{2}$∠EQD,
所以∠BPF+∠DQF=$\frac{1}{2}$(∠BPE+∠EQD)=110°.
作NF//AB,同理可得,∠PFQ=∠BPF+∠DQF=110°.
(3)如图③,过点E作EM//CD.
设∠QEM=α,所以∠DQE=180°−α.
因为QH平分∠DQE,
所以∠DQH=$\frac{1}{2}$∠DQE=90°−$\frac{1}{2}$α,
所以∠FQD=180°−∠DQH=90°+$\frac{1}{2}$α.
因为EM//CD,AB//CD,
所以AB//EM，
所以∠BPE=180°−∠PEM=180°−(70°+α)=110°−α.因为PF平分∠BPE,
所以∠BPF=$\frac{1}{2}$∠BPE=55°−$\frac{1}{2}$α.
作NF//AB,同
(1)理可得,∠PFQ=∠BPF+∠DQF=55°−$\frac{1}{2}$α+90°+$\frac{1}{2}$α=145°.