《2025年真题圈七年级数学下册北师大版陕西专版》

23. 情境题（7分）在计算$(x + a)(x + b)$时，甲把b错看成了6，得到的结果是$x^{2}+8x + 12$；乙把a错看成了$-a$，得到的结果是$x^{2}+x - 6$.
(1)求出a，b的值.
(2)在(1)的条件下，计算$(x + a)(x + b)$的结果.

答案： 【解】
(1)根据题意，得
甲：$(x + a)(x + 6)=x^{2}+(6 + a)x + 6a = x^{2}+8x + 12$，
乙：$(x - a)(x + b)=x^{2}+(-a + b)x - ab = x^{2}+x - 6$，
所以$6 + a = 8$，$-a + b = 1$，解得$a = 2$，$b = 3$.
(2)当$a = 2$，$b = 3$时，$(x + a)(x + b)=(x + 2)(x + 3)=x^{2}+5x + 6$.

24.（期中·22 - 23西安爱知中学）（8分）如图，小明和小华分别用长度相同的铁丝围长方形，小明把铁丝围成甲长方形，小华把铁丝围成乙长方形，甲、乙两个长方形的面积分别为$S_{1}$，$S_{2}$.
(1)请计算乙长方形的面积比甲长方形的面积大多少.
(2)把该铁丝围成一个正方形，该正方形的面积为$S_{3}$，若$5S_{1}+S_{2}=4S_{3}$，求$S_{3}$的值.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案： 【解】
(1)设乙长方形的另一边的长为$x$，则
$2(a + 1 + a + 5)=2(x + a + 2)$，解得$x = a + 4$.
$S_{1}=(a + 1)(a + 5)=a^{2}+6a + 5$，$S_{2}=(a + 4)(a + 2)=a^{2}+6a + 8$，
所以$S_{2}-S_{1}=a^{2}+6a + 8-(a^{2}+6a + 5)=a^{2}+6a + 8 - a^{2}-6a - 5 = 3$.
故乙长方形的面积比甲长方形的面积大 3.
(2)设正方形的边长为$m$，
因为$2(a + 1 + a + 5)=4m$，所以$m = a + 3$，所以$S_{3}=(a + 3)^{2}=a^{2}+6a + 9$.
因为$5S_{1}+S_{2}=4S_{3}$，所以$5(a^{2}+6a + 5)+a^{2}+6a + 8 = 4(a^{2}+6a + 9)$，所以$2a^{2}+12a = 3$，
所以$S_{3}=a^{2}+6a + 9 = 1.5 + 9 = 10.5$.