《2025年真题圈七年级数学下册北师大版陕西专版》

7. 如图,在△ABC中,AB = AC,点O在高AE上,且OA = OB,连接BO并延长,交AC于点D.
　　(1)试说明:∠BAC = 2∠ABD.
　　(2)若△BCD是等腰三角形,求∠BAC的度数.

答案： [解]
(1)因为AB=AC,AE⊥BC,所以∠BAC=2∠BAE.
因为OA=OB,所以∠ABD=∠BAE,
所以∠BAC=2∠ABD,
(2)①当BD=BC时,∠C=∠BDC.
因为∠ABD=∠BAE=∠CAE、∠BDC+∠ADB=180°,∠ADB+∠ABD+∠BAC=180°,
所以∠BDC=∠ABD+∠BAC=3∠ABD.
设∠ABD=α,则∠BAC=2α,
所以2α+3α+3α=180°,所以2α=45°,所以∠BAC=45°.
②当BC=CD时,∠CBD=∠CDB,
所以∠CBD=∠CDB=3∠ABD.
设∠ABD=α,则∠BAC=2α,∠CBD=∠CDB=3α,
所以∠ABC=∠C=4α.
因为∠ABC+∠C+∠BAC=180°,
所以4α+4α+2α=180°,所以2α=36°,所以∠BAC=36°.
综上,若△BCD是等腰三角形,∠BAC的度数为45°或36°.

8.(期末·21 - 22西工大附中)如图,在△ABC中,AB边的垂直平分线DE分别与AB边和AC边交于点D和点E,BC边的垂直平分线FG分别与BC边和AC边交于点F和点G,若△BEG的周长为17,且GE = 1,则AC的长为(　　　　)

A. 13　　　　　
　B. 14　　　　　
　C. 15　　　　　
　D. 16

答案： C[解析]因为DE是线段AB的垂直平分线，GF是线段BC 的垂直平分线,所以EB=EA,GB=GC:因为△BEG的周长为17,所以EB+GB+EG=17,所以EA+GC+EG=17,所以GA+EG+EG+EC+EG=17,所以AC+2EG=17.因为EG=1,所以AC=15.故选C.

9.(月考·22 - 23陕师大附中)如图,点P在∠MON的内部,点P关于OM,ON的对称点分别为A,B,连接AB,交OM于点C,交ON于点D,连接PC,PD,PB,PA.若∠MON = 40°,则∠CPD的度数为(　　　)
A. 70°　　　　
　B. 80°　　　　
　C. 90°　　　　
　D. 100°

答案： D[解析]根据四边形的内角和可得∠BPA=360°−90°−90°−40°=140°.
因为点B与点P关于ON对称，点P与点A关于OM对称,
所以ON垂直平分BP,OM垂直平分PA,
所以DP=DB,CP=CA,所以∠B=∠BPD,∠A=∠APC,所以∠PDC=2∠BPD,∠PCD=2∠APC.
因为∠BPA=∠BPD+∠DPC+∠APC=140°,∠DPC+∠PDC+∠PCD=180°,所以∠BPD+∠APC=40°,
所以∠DPC=140°−40°=100°.故选D

10. 如图,在△ABC中,PD,PE分别是AC,BC边的垂直平分线,且分别与AB交于点M,N,连接CM,CN.有下列四个结论:
①∠P =∠A + ∠B；②∠ACB =∠MCN + ∠P；③∠ACB与∠B互为补角；④△MCN的周长与AB边的长相等.其中正确结论的个数是(　　　)
A. 1　　　　　
　B. 2　　　　　　
　C. 3　　　　　　
　D. 4

答案： C　[解析]因为PD,PE分别是AC,BC边的垂直平分线,
所以PD⊥AC,PE⊥BC,
所以∠ADM=∠BEN=90°,
所以∠PMN=∠AMD=90°−∠A,∠PNM=∠BNE=90°−∠B,所以∠P=180°−∠PMN−∠PNM=180°−(90°−∠A)−(90°−∠B)=∠A+∠B,①正确.
因为MC=MA,NC=NB,所以∠A=∠ACM,∠B=∠NCB,所以∠A+∠B=∠ACM+∠NCB,所以∠P=∠ACM+∠NCB,所以∠ACB=∠ACM+∠NCB+∠MCN=∠P+∠MCN,故②正确,因为∠ACB+∠B+∠A=180°,所以∠ACB与∠B不互为补角,故③错误,
△MCN的周长=MC+NC+MN=AM+NB+MN=AB,故④正确.所以正确的是①②④,共3个.
故选C.