《2025年真题圈七年级数学下册北师大版陕西专版》

16.(期末·21 - 22西安经开一中)如图,已知AM//BN,∠A = 64°,点P是射线AM上一动点(与点A不重合),BC,BD分别平分∠ABP和∠PBN,分别交射线AM于点C,D.下列结论:①∠ACB = ∠CBN;②∠CBD = 64°;③当∠ACB = ∠ABD时,∠ABC = 29°;④当点P运动时,∠APB:∠ADB = 2:1的数量关系不变.其中正确的有(　　　)
A. ①②③
B. ①②④
C. ①③④
D. ①②③④
　　　　　　　　　　　　　　　　

答案： C[解析]①因为AM//BN,所以∠ACB=∠CBN,故①正确.②因为AM//BN,所以∠ABN+∠A=180°,
所以∠ABN=180°−64°=116°,所以∠ABP+∠PBN=116°.因为BC平分∠ABP,BD平分∠PBN,
所以∠ABP=2∠CBP,∠PBN=2∠DBP,
所以2∠CBP+2∠DBP=116°,
所以∠CBD=∠CBP+∠DBP=58°,故②错误.
③因为AM//BN,所以∠ACB=∠CBN;
当∠ACB=∠ABD时,则有∠CBN=∠ABD,
所以∠ABC+∠CBD=∠CBD+∠DBN,
所以∠ABC=∠DBN;由②可知∠ABN=116°,∠CBD=58°,所以∠ABC+∠DBN=58°,所以∠ABC=29°,故③正确
④因为AM//BN,所以∠APB=∠PBN,∠ADB=∠DBN.
因为BD平分∠PBN,所以∠PBN=2∠DBN,
所以∠APB:∠ADB=2:1,故④正确.
因此正确的结论有①③④.故选C.

17.(期中·22 - 23西安爱知中学)已知,如图,AB//CD,CA⊥AB,且AC = 12,CD = 5,AD = 13,点M是线段AD上的一个动点,则CM的最大值与最小值的差是_______.
　　　　　　　　　　　　　　　　

答案： $\frac{96}{13}$　[解析]因为CA⊥AB,所以∠BAC=90°.
因为AB//CD,所以∠DCA=∠BAC=90°.
由题图可知，当点M在点A处时，CM最大，即CM的最大值为12;当CM⊥AD时，CM最小,此时，由等面积法可得CM =$\frac{AC\cdot CD}{AD}$=$\frac{60}{13}$,即CM的最小值为$\frac{60}{13}$.12−$\frac{60}{13}$=$\frac{96}{13}$
故答案为$\frac{96}{13}$.

18.(期末·21 - 22宝鸡陈仓区)如图,已知直线AB//CD,∠M = 90°,∠CEF = 120°,求∠MPF的度数.
　　　　　　　　　　

答案： [解]因为AB//CD,所以∠AFM=∠CEF=120°,
所以∠MFP=180°−∠AFM=60°,
所以∠MPF=180°−∠M−∠MFP=30°.

19.(期中·22 - 23西工大附中)如图,点A,B分别在直线EF和直线MN上,EF//MN,∠ABN = 45°,射线AC从射线AF的位置开始,绕点A以每秒2°的速度顺时针旋转,同时射线BD从射线BM的位置开始,绕点B以每秒6°的速度顺时针旋转,射线BD旋转到BN的位置时,两者停止运动.设旋转时间为t s.
　　　
(1)∠BAF = _______°.
(2)在转动过程中,是否存在某个时刻,使得射线AC与射线BD所在直线的夹角为80°? 若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.
(3)在转动过程中,若射线AC与射线BD交于点H,过点H作HK⊥BD交直线AF于点K,∠AHK/∠ABH的值是否会发生改变?如果不变,请求出这个定值;如果改变,请说明理由.

答案：
[解]
(1)135
(2)存在
设当t时刻时，点C,D分别转到了C',D',如图①所示，将BD' 延长,交EF于点Q;将AC'反向延长,交BD'延长线于点G,∠AGQ或其补角为射线AC与射线BD所在直线的夹角，
由题意可知∠CAC'=(2t)°,∠DBD'=(6t)°.
因为射线BD旋转到BN的位置时，两者停止转动，
所以t的最大值为$\frac{180°}{6°}$=30,所以0≤t≤30.
因为EF//MN、∠GAQ=∠CAC'=(2t)°(对顶角相等),
所以∠EQG=∠DBD'=(6t)°(两直线平行,同位角相等).
根据三角形内角和定理及补角的定义,可知∠AGQ=∠EQG−∠GAQ=(6t)°−(2t)°=(4t)°,其补角为(180−4t)°,
当4t=80时,t=20;当180−4t=80时,t=25.
综上,存在这样的时刻,当t=20或t=25时,射线AC与射线BD所在直线的夹角为80°.
(3)不会发生改变
设当t时刻时,点C,D分别转到了C'',D'',如图②所示.
由题意可知∠CAC''=(2t)°,∠DBD''=(6t)°,∠BHP=90°,所以∠HBP=(180−6t)°.
因为EF//MN,
所以∠PGH=∠CAC''=(2t)°,
所以∠GHP=180°−90°−(2t)°−(180−6t)°=(4t−90)°,
所以∠AHK=∠GHP=(4t−90)°.
因为∠ABH=(6t−135)°,
所以$\frac{∠AHK}{∠ABH}$=$\frac{(4t - 90)°}{(6t - 135)°}$=$\frac{2(2t - 45)°}{3(2t - 45)°}$=$\frac{2}{3}$.