《2025年真题圈七年级数学下册北师大版陕西专版》

9. (月考·23 - 24西安铁一中陆港)综合与实践
(1)问题背景：如图①，在四边形ABCD中，AB = AD，∠BAD = 120°，∠B =∠ADC = 90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF = 60°，探索EF，BE，DF的数量关系，则得出的结论是________________________.
(2)探索延伸：如图②，若在四边形ABCD中，AB = AD，∠B +∠D = 180°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF = $\frac{1}{2}$∠BAD，(1)中的结论是否仍成立？并说明理由.
(3)实际应用：如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心(O处)南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离都是90 n mile，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60 n mile/h的速度前进，同时，舰艇乙沿着射线BM的方向(∠OBM = 120°)，以14 n mile/h的速度前进1.5 h后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且舰艇乙在指挥中心南偏东80°，试问，两舰艇E，F之间的距离是否符合(2)的条件？如果符合，请求出两舰艇之间的距离(画出辅助线)；如果不符合，请说明理由.

答案：
[解]
(1)EF = BE + DF
分析:如图①,延长FD到点G,使DG = BE,连接AG,
在△ABE和△ADG中,AB = AD,∠B = ∠ADG = 90°,BE = DG,所以△ABE≌△ADG(SAS),
所以AE = AG,∠BAE = ∠DAG.
因为∠EAF = 60°,∠BAD = 120°,所以∠EAF = $\frac{1}{2}$∠BAD,
所以∠GAF = ∠DAG + ∠DAF = ∠BAE + ∠DAF = ∠BAD - ∠EAF = ∠EAF.
在△AEF和△AGF中,AE = AG,∠EAF = ∠GAF,AF = AF,所以△AEF≌△AGF(SAS),
所以EF = FG.
因为FG = DG + DF = BE + DF,
所以EF = BE + DF


(2)
(1)中的结论仍然成立,即EF = BE + DF
理由如下:
如图②,延长FD到点G,使DG = BE,连接AG.
因为∠B + ∠ADC = 180°,∠ADG + ∠ADC = 180°,
所以∠B = ∠ADG.
在△ABE和△ADG中,AB = AD,∠B = ∠ADG,BE = DG,所以△ABE≌△ADG(SAS),
所以AE = AG,∠BAE = ∠DAG.
因为∠EAF = $\frac{1}{2}$∠BAD,
所以∠GAF = ∠DAG + ∠DAF = ∠BAE + ∠DAF = ∠BAD - ∠EAF = ∠EAF.
在△AEF和△AGF中,AE = AG,∠EAF = ∠GAF,AF = AF,所以△AEF≌△AGF(SAS),
所以EF = FG.
因为FG = DG + DF = BE + DF,
所以EF = BE + DF
(3)符合.如图③,延长AE,BF相交于点G,连接OE,OF
因为舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西30°的A处，
所以∠AON = 30°,∠A = 60°.
因为舰艇乙在指挥中心(O处)南偏东70°的B处,
所以∠AOB = 30° + 90° + (90° - 70°) = 140°.
因为舰艇甲向正东方向以60 n mile/h的速度前进，同时，舰艇乙沿着射线BM的方向(∠OBM = 120°),以14 n mile/h的速度前进1.5 h后,指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E,F处,且舰艇乙在指挥中心南偏东80°,
所以∠AOF = (90° - 80°)+90° + 30° = 130°,
AE = 60×1.5 = 90(n mile),BF = 14×1.5 = 21(n mile).
因为OA = 90 n mile,
所以△AOE为等边三角形，
所以∠AOE = 60°,
所以∠EOF = ∠AOF - ∠AOE = 130° - 60° = 70° = $\frac{1}{2}$∠AOB.
在四边形AOBG中,
因为OA = OB,∠OAG + ∠OBG = 60° + 120° = 180°,
所以符合
(2)中的条件,结论EF = AE + BF成立,
所以EF = 90 + 21 = 111(n mile),
所以两舰艇之间的距离为111 n mile.