《2025年真题圈七年级数学下册北师大版陕西专版》

6. (期中·22 - 23西安曲江一中节选)如图，在△ABC中，分别以AB，AC为边向外作△ABE和△ACD，使AE = AB，AD = AC，∠EAB =∠DAC = 90°，点M是BC的中点，连接AM，DE，当AM = 11时，DE的长为________________.

答案：
22　[解析]如图,延长AM到点N,使得MN = AM,连接BN.
在△BMN和△CMA中,BM = CM,
∠BMN = ∠CMA,MN = AM,
所以△BMN≌△CMA(SAS),
所以BN = CA,∠BNM = ∠CAM,
所以AC//BN.

因为AC = AD,所以BN = AD.
因为AC//BN,
所以∠BAC + ∠ABN = 180°.
因为∠BAE = ∠CAD = 90°,
所以∠BAC + ∠EAD = 180°,
所以∠ABN = ∠EAD.
在△ABN和△EAD中,AB = AE,∠ABN = ∠EAD,BN = AD,所以△ABN≌△EAD(SAS),
所以AN = DE.
因为MN = AM，
所以DE = AN = 2AM
因为AM = 11,
所以DE = 2AM = 22,
故答案为22.

7. (期中·23 - 24西安铁一中)在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫作倍长中线法.
(1)如图①，AD是△ABC的中线，且AB＞AC，延长AD至点E，使ED = AD，连接BE，可证得△ADC≌△EDB，其中判定全等的依据为______________.
(2)如图②，AD是△ABC的中线，点E在BC的延长线上，CE = AB，∠BAC =∠BCA，说明：AE = 2AD.
(3)如图③，AD是△ABC的中线，AB = AE，AC = AF，∠BAE =∠FAC = 90°，试探究线段AD与EF的数量和位置关系，并加以说明.

答案：
[解]
(1)SAS
(2)延长AD到点M,使AD = DM,连接BM,如图①.
因为AD是△ABC的中线,
所以CD = BD.
在△ADC和△MDB中,DC = DB,∠ADC = ∠MDB,DA = DM,
所以△ADC≌△MDB(SAS),
所以AC = BM,∠BCA = ∠MBD.
因为∠BAC = ∠BCA,∠ACE = 180° - ∠ACB = 180° - (180° - ∠BAC - ∠ABC)=∠BAC + ∠ABC,
∠MBA = ∠MBD + ∠ABC,
所以∠ACE = ∠MBA.
在△ACE和△MBA中,AC = MB,∠ACE = ∠MBA,CE = BA,所以△ACE≌△MBA(SAS),
所以AE = AM = 2AD.

(3)EF = 2AD,EF⊥AD.
如图②,在AD的延长线上取点H,使DH = AD,连接CH,
则AH = 2AD.
因为AD是△ABC的中线，
同
(2)可说明△CDH≌△BDA(SAS),
所以CH = AB,∠AHC = ∠BAE.
因为AB = AE,∠BAE = 90°,
所以CH = AE,∠AHC = 90°,
所以∠ACH + ∠CAH = 90°.
因为∠FAC = 90°,所以∠FAE + ∠CAH = 90°,
所以∠FAE = ∠ACH;
又因为FA = AC,AE = CH,
所以△FAE≌△ACH(SAS),
所以EF = AH,∠AEF = ∠AHC = 90°,
所以EF = 2AD,EF⊥AD.