《2025年真题圈七年级数学下册北师大版陕西专版》

24.（期中·22 - 23西安高新一中改编）（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＞∠B，AD平分∠BAC，P为线段AD上的任意一点，EP⊥AD交直线BC于点E.
（1）若∠B = 36°，∠ACB = 78°，求∠E的度数.
（2）当点P在线段AD上运动时，试说明：∠E = $\frac{1}{2}$(∠ACB - ∠B).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案： [解]
(1)因为∠B = 36°，∠ACB = 78°，
所以∠BAC = 180° - ∠B - ∠ACB = 66°.
因为AD平分∠BAC，所以∠BAD = $\frac{1}{2}$∠BAC = 33°.
因为∠ADC + ∠ADB = 180°，∠ABD + ∠BAD + ∠ADB = 180°，
所以∠ADC = ∠B + ∠BAD = 69°.
又因为PE⊥AD，所以∠ADC与∠E互余，
所以∠E = 90° - 69° = 21°.
(2)因为AD平分∠BAC，所以∠BAD = $\frac{1}{2}$∠BAC，
所以∠ADC = ∠B + ∠BAD = ∠B + $\frac{1}{2}$∠BAC = ∠B + $\frac{1}{2}$(180° - ∠B - ∠ACB) = 90° + $\frac{1}{2}$∠B - $\frac{1}{2}$∠ACB.
因为PE⊥AD，所以∠E = 90° - ∠ADC
= 90° - (90° + $\frac{1}{2}$∠B - $\frac{1}{2}$∠ACB)
= $\frac{1}{2}$(∠ACB - ∠B).

25.（期中·23 - 24陕师大附中）（8分）（1）如图①，已知：在△ABC中，∠BAC = 90°，AB = AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为D，E.试说明：DE = BD + CE.
（2）如图②，以△ABC的边AB，AC为边向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I，试说明：I是EG的中点.
　　　　　

答案：
[解]
(1)由∠BAC = 90°，AB = AC，BD⊥直线l，CE⊥直线l，
得∠BDA = ∠AEC = 90°，∠BAD = 90° - ∠CAE = ∠ACE，
所以△BAD≌△ACE（AAS），
所以BD = AE，DA = CE，
所以DE = AE + AD = BD + CE.
(2)如图，过点E作EM⊥HI于点M，过点G作GN⊥HI于点N.四边形ABDE和四边形ACFG是正方形，AH是BC边上的高，
同
(1)理得△BAH≌△AEM（AAS），△CHA≌△ANG（AAS），
所以EM = AH，GN = AH，
所以EM = GN.
因为∠EMI = ∠GNI = 90°，
∠EIM = ∠GIN，
所以△EMI≌△GNI（AAS），
所以EI = GI，即I是EG的中点.