《2025年真题圈七年级数学下册北师大版陕西专版》

1. 如图，AE⊥AB且AE = AB，BC⊥CD且BC = CD，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积S是(　　　)

A. 30
B. 50
C. 60
D. 80

答案： B[解析]因为∠EAF + ∠BAG = 90°,∠EAF + ∠AEF = 90°,所以∠BAG = ∠AEF
在△AEF和△BAG中,因为∠F = ∠AGB,∠AEF = ∠BAG,AE = AB,所以△AEF≌△BAG(AAS).
同理△BCG≌△CDH,所以AF = BG = 3,AG = EF = 6,GC = DH = 4,BG = CH = 3.
因为梯形DEFH的面积=$\frac{1}{2}$(EF + DH)·FH = 80,$S_{\triangle AEF}$ =$S_{\triangle ABG}$ = $\frac{1}{2}$AF·FE = 9,$S_{\triangle BCG}$ =$S_{\triangle CDH}$ = $\frac{1}{2}$CH·DH = 6,所以图中实线所围成的图形的面积S = 80 - 2×9 - 2×6 = 50.故选B.

2. (1)如图①，点B，C分别在∠MAN的边AM，AN上，点E，F都在∠MAN内部的射线AD上. 已知AB = AC，且∠1 =∠2 =∠BAC，则△ABE与△CAF的关系为____________
(2)如图②，在△ABC中，AB = AC，AB＞BC，点D在边BC上，CD = 2BD，点E，F在线段AD上；∠1 =∠2 =∠BAC. 若△ABC的面积为15，则△ACF与△BDE的面积之和为______

答案：
(1)全等　
(2)5[解析]
(1)因为∠BAE + ∠ABE + ∠BEA = 180°,所以∠BAC - ∠CAF + ∠ABE + ∠BEA = 180°.
因为∠1 = ∠2 = ∠BAC,∠BEA = 180° - ∠1,∠AFC = 180° - ∠2,
所以∠BEA = ∠AFC,∠1 - ∠CAF + ∠ABE + (180° - ∠1) = 180°,所以∠ABE = ∠CAF
在△ABE和△CAF中,
因为∠BEA = ∠AFC,∠ABE = ∠CAF,AB = AC,
所以△ABE≌△CAF(AAS).
(2)因为△ABC的面积为15,CD = 2BD,
所以$S_{\triangle ABD}$ = $\frac{1}{3}$×15 = 5,由
(1)可得△ABE≌△CAF,
所以$S_{\triangle ACF}$ +$S_{\triangle BDE}$ =$S_{\triangle ABE}$ +$S_{\triangle BDE}$ =$S_{\triangle ABD}$ = 5.
故△ACF与△BDE的面积之和为5.
故答案为
(1)全等;
(2)5.

3. (月考·22 - 23陕师大附中)(1)模型的发现：如图①，在△ABC中，∠BAC = 90°，AB = AC，直线l经过点A，且B，C两点在直线l的同侧，BD⊥l，CE⊥l，垂足分别为点D，E. 请直接写出DE，BD和CE的数量关系为____________________.
(2)模型的迁移1：位置的改变
如图②，在(1)的条件下，若B，C两点在直线l的异侧，请说明DE，BD和CE的数量关系，并说明理由.
(3)模型的迁移2：角度的改变
如图③，在(1)的条件下，若三个直角都变成了相等的钝角，即∠BAC =∠1 =∠2 =α，其中90°＜α＜180°，(1)的结论还成立吗？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明DE，BD和CE的数量关系，并说明理由.

答案： [解]
(1)DE = BD + CE
分析:因为∠BAC = ∠AEC = 90°,所以∠DAB + ∠CAE = 90°,∠CAE + ∠ECA = 90°,所以∠DAB = ∠ECA.
在△DAB和△ECA中,∠ADB = ∠CEA,∠DAB = ∠ECA,AB = CA,所以△DAB≌△ECA(AAS),
所以BD = AE,AD = CE,
所以DE = AD + AE = BD + CE;
(2)BD = DE + CE.理由如下:
因为∠BAC = 90°,所以∠BAD + ∠CAE = 90°.
因为CE⊥直线l,
所以∠ACE + ∠CAE = 90°,
所以∠BAD = ∠ACE.
在△BAD和△ACE中,∠ADB = ∠CEA,∠BAD = ∠ACE,BA = AC,所以△BAD≌△ACE(AAS),
所以BD = AE,AD = CE,
所以BD = AE = DE + AD = DE + CE.
(3)
(1)的结论成立.
理由如下:
因为∠DAC + ∠CAE = 180°,∠CAE + ∠2 + ∠ACE = 180°,
所以∠DAC = ∠2 + ∠ACE.
因为∠BAC = ∠2,所以∠DAB = ∠ECA.
在△DAB和△ECA中,∠1 = ∠2,∠DAB = ∠ECA,BA = AC,所以△DAB≌△ECA(AAS),
所以BD = AE,AD = CE,
所以DE = AE + AD = BD + CE.