《2025年真题圈七年级数学下册北师大版陕西专版》

26. 探究性问题 观察下列各式:
　　①$60\times60 = 60^{2}-0^{2}=3600$；
　　②$59\times61=(60 - 1)\times(60 + 1)=60^{2}-1^{2}=3599$
　　③$58\times62=(60 - 2)\times(60 + 2)=60^{2}-2^{2}=3596$
　　④$57\times63=(60 - 3)\times(60 + 3)=60^{2}-3^{2}=3591$；$\cdots$．
　　探究:(1)上面的式子表示的规律是$(60 + m)(60 - m)=$____________；观察各等式的左边，发现两个因数之和都是$120$，而两数乘积却随着两个因数的接近程度在变化，当两个因数________时，乘积最大．
　　应用:(2)根据上面的规律思考，若$a + b = 400$，则$ab$的最大值是________．
　　拓展:(3)将一根长$40cm$的铁丝折成一个长方形，设它的一边长为$x cm$，面积为$S cm^{2}$，写出$S$与$x$之间的等量关系．当$x$为何值时，$S$取得最大值？

答案： [解]
(1)$60^{2}-m^{2}$ 相等
(2)40000
分析：$a + b = 400$，由
(1)得当$a = b = 200$时，$ab$的值最大，即$ab$的最大值为$200×200 = 40000$.
(3)长方形的周长为$40cm$，一条边的长为$xcm$，则另一条边的长为$(20 - x)cm$.由长方形的面积公式可得$S = x(20 - x)$，长方形的长与宽的和为$x+(20 - x)=20$，当$x = 20 - x$，即$x = 10$时，$x(20 - x)$最大，即面积$S$最大.所以$S$与$x$之间的等量关系为$S = x(20 - x)$，当$x = 10$时，$S$取得最大值.

27. (期末·21 - 22 西安交大附中)已知$(3a - m)^{2}=9a^{2}+3a+\frac{1}{4}，$则m =(\ )
　　
A. $\pm\frac{1}{4}$　　　
　B. $-\frac{1}{4}$　　　　
　C. $\pm\frac{1}{2}$　　　　
　D. $-\frac{1}{2}$

答案： D[解析]因为$(3a - m)^{2}=9a^{2}+3a+\frac{1}{4}=\left(3a+\frac{1}{2}\right)^{2}$，所以$m=-\frac{1}{2}$.故选D.

28. (月考·22 - 23 西安益新中学)如图,有一张边长为$b$的正方形纸板,在它的四角各剪去边长为$a$的正方形,然后将四周突出的部分折起,制成一个无盖的长方体纸盒,则这个纸盒的容积为(　　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. $b^{2}-4a^{2}$　　　　　　B. $ab^{2}-4a^{2}b + 4a^{3}$
　
C. $ab^{2}+4a^{2}b + 4a^{3}$　　　D. $a^{3}-2a^{2}+ab$

答案： B[解析]纸盒的底面积为$(b - 2a)^{2}$，高为$a$，所以这个纸盒的容积为$(b - 2a)^{2}\times a = ab^{2}-4a^{2}b + 4a^{3}$.故选B.

29. (期末·23 - 24 宝鸡渭滨区)已知$x^{2}-2(k + 1)x + 16$是一个完全平方式，则$k$的值为(　　　)
　
A. 2　　　　
　B. 3或 - 5　　
　C. 1　　　　　
　D. $\pm2$

答案： B[解析]因为多项式$x^{2}-2(k + 1)x + 16$是一个完全平方式，所以$-2(k + 1)=\pm8$，解得$k = 3$或 -5.故选B.