《2025年真题圈七年级数学下册北师大版陕西专版》

25. 新定义问题(期中·22 - 23西安铁一中)(8分)配方法是数学中重要的思想方法之一,它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为一个完全平方式或几个完全平方式的和的方法. 这种方法常被用到代数式的变形中,并结合非负数的意义来解决一些问题. 我们定义:一个整数能表示成a²+b²(a,b是正整数)的形式,则称这个数为“完美数”. 例如,5是“完美数”,理由:因为5 = 2²+1²,所以5是“完美数”.
解决问题:
(1)已知29是“完美数”,请将它写成a²+b²(a,b是正整数)的形式:__________________.
(2)若x² - 6x+13可配方成(x - m)²+n²(m,n为正整数),则mn = ________.
探究问题:
(3)已知S = x²+4y²+4x - 12y+k(x,y是整数,k是常数),要使S为“完美数”,试求出符合条件的一个k值,并说明理由.

答案： [解]
(1)29 = 2² + 5²
(2)6
分析:x² - 6x + 13 = x² - 6x + 9 + 4 = (x - 3)² + 4，
所以m = 3，n = 2，所以mn = 3×2 = 6.
(3)k可以取13.
理由:S = x² + 4y² + 4x - 12y + k = x² + 4x + 4 + 4y² - 12y + 9 + k - 13
= (x + 2)² + (2y - 3)² + k - 13，
因为S是“完美数”，x + 2，2y - 3也是整数，
所以k可以取13.