《2025年真题圈七年级数学下册北师大版陕西专版》

20.(期末·23 - 24西安铁一中改编)如图,等腰三角形ABC底边BC的长为3cm,面积是12cm²,腰AC的垂直平分线EF交AB于点F,若D为BC边上的动点,M为线段EF上一动点,则CM + MD的最小值为________cm.
　　　　　

答案： 8[解析]连接AM(图略). 因为腰AC的垂直平分线EF交AB于点F，所以点A，C关于直线EF对称，所以$AM = CM$. 当A，M，D三点共线，且与BC垂直时，$AM + MD$最小，即$CM + MD$最小，且最小值为AD的长度. 此时$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AD\cdot BC=\frac{1}{2}×3×AD = 12$，所以$AD = 8$，所以$CM + MD$的最小值为8cm. 故答案为8.

21.(中考·2023陕西)如图,已知锐角△ABC,∠B = 48°,请用尺规作图法,在△ABC内部求作一点P,使PB = PC,且∠PBC = 24°.(保留作图痕迹,不写作法)
　　　　　

答案： [解]如图，点P即所求.

22.(期末·23 - 24西安未央区)如图,在四边形ABCD中,∠BAD = 90°,延长AB,DC交于点E,BD所在的直线垂直平分线段AC,过点A作AF//BC交CD于点F
　　(1)试说明:∠FAD = ∠E.
　　(2)若AE = 4,△AEC的面积为$\frac{12}{5}$,求CF的长.
　　　　　　　　　　　　　　　

答案：
[解]
(1)因为BD所在的直线垂直平分线段AC，所以$BA = BC$，$DA = DC$，所以$∠CAB = ∠ACB$，$∠DAC = ∠ACD$. 因为$∠BAD = 90^{\circ}$，所以$∠BCD = ∠ACB+∠ACD = ∠CAB+∠DAC = ∠BAD = 90^{\circ}$，$∠EAF+∠FAD = 90^{\circ}$. 因为$AF// BC$，所以$∠AFD = ∠BCD = 90^{\circ}$，所以$∠AFE = 90^{\circ}$，所以$∠E+∠EAF = 180^{\circ}-∠AFE = 90^{\circ}$，所以$∠FAD = ∠E$.
(2)因为在四边形ABCD中，BD所在的直线垂直平分线段AC，所以$BA = BC$，所以$∠BAC = ∠BCA$. 因为$AF// BC$，所以$∠CAF = ∠BCA$，所以$∠CAF = ∠BAC$，即AC平分$∠EAF$. 过点C作$CM⊥AE$，垂足为M，如图，由
(1)知$∠AFD = 90^{\circ}$，所以$AF⊥CD$，所以$CF = CM$. 因为$\triangle AEC$的面积为$\frac{12}{5}$，所以$\frac{1}{2}AE\cdot CM=\frac{12}{5}$. 又因为$AE = 4$，所以$CM=\frac{6}{5}$. 所以$CF = CM=\frac{6}{5}$.