《2025年真题圈七年级数学下册北师大版陕西专版》

26.（月考·23 - 24西安滨河学校）（10分）在综合与实践课上，班级开展了以两条平行线和三角尺为主题的数学活动.
初步感知：
（1）如图①，若将三角尺的60°角的顶点G放在CD上，∠2 = 70°，则∠1的度数为______.
自主探究：
（2）将一副三角尺如图②所示摆放，直线GH//MN. 若三角尺ABC不动，而三角尺DEF绕点D以每秒3°的速度顺时针旋转，设旋转时间为t s（0≤t≤120），求当旋转到DF//BC时，t的值是多少.
探究拓展：
（3）现将三角尺ABC绕点A以每秒1°的速度顺时针旋转，同时三角尺DEF绕点D以每秒3°的速度顺时针旋转，如图③，设时间为t s，当0≤t≤120时，若边BC与三角尺DEF的一条直角边（边DE，DF）平行，求出所有满足条件的t值.（请直接写出满足条件的t值）

答案：
【解】
(1)50°
(2)如图①所示，延长BC交MN于点T。
因为GH//MN，
所以∠BTM = 180° - ∠ABC = 120°。
分情况讨论：①当DF在MN上方时，
因为DF//BC，
所以∠FDM = ∠BTM = 120°，
所以t = $\frac{120°}{3°}$ = 40。

②当DF在MN下方时，只需要在旋转40 s的基础上再旋转180°即有DF//BC，
所以t = 40 + $\frac{180°}{3°}$ = 100。
综上所述，当旋转到DF//BC时，t的值是40或100。
(3)满足条件的t的值为15或60或105。
分析：①如图②，当0≤t＜60，BC//DE时，
设直线BC与MN，GH分别交于点P，Q，
此时∠MDF = 3t°，∠BAQ = t°，
所以∠NDE = ∠NPQ = 180° - 90° - 3t° = 90° - 3t°。
因为GH//MN，所以∠NPQ = ∠AQB = 90° - 3t°，
所以∠ABQ = 180° - ∠BAQ - ∠AQB = 90° + 2t°。
因为∠ABC = 60°，
所以∠ABC + ∠ABQ = 60° + 90° + 2t° = 180°，
解得t = 15。
②如图③，当t = 60时，
因为∠HAB = ∠ABC = 60°，
所以GH//BC。
因为∠MDF = 3×60° = 180°，
所以DC在MN上。
因为MN//GH，所以BC//DF，
所以t = 60符合题意。
③如图④所示，当60＜t≤120，BC//DE时，设直线BC分别交MN，GH于点P，Q，
此时，∠PDF = 3t° - 180°，∠HAB = t°，∠QAB = 180° - t°，
所以∠EDP = 360° - 90° - (3t° - 180°) = 450° - 3t°，
所以∠QPD = 180° - ∠EDP = 180° - 450° + 3t° = 3t° - 270°。
因为GH//MN，
所以∠AQP = ∠QPD = 3t° - 270°。
因为∠AQP + ∠QAB + ∠ABQ = 180°，
所以3t° - 270° + 180° - t° + 60° = 180°，解得t = 105。
综上，所有满足条件的t的值为15或60或105。