《2025年真题圈七年级数学下册北师大版陕西专版》

10. (期中·22 - 23 西安爱知中学)先化简，再求值。
(1) $[(a + 2b)^{2}-(3a + b)(3a - b)-5b^{2}]\div2a$，其中$a = -\frac{1}{2},b = -1$。
(2) 已知$x^{2}-x + 1 = 0$，求代数式$(x + 1)^{2}-(x + 1)(2x - 1)$的值。

答案： 【解】
(1)原式$=(a^{2}+4ab + 4b^{2}-9a^{2}+b^{2}-5b^{2})\div2a$
$=(-8a^{2}+4ab)\div2a=-4a + 2b$，
当$a = -\frac{1}{2},b = -1$时，
原式$=-4\times(-\frac{1}{2})+2\times(-1)=2 - 2 = 0$.
(2)原式$=x^{2}+2x + 1-2x^{2}+x - 2x + 1=-x^{2}+x + 2$，
当$x^{2}-x + 1 = 0$，即$-x^{2}+x = 1$时，原式$=1 + 2 = 3$.

11. 新定义问题(月考·22 - 23 西安高新一中)定义$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad - bc$，如$\begin{vmatrix}1&2\\3&4\end{vmatrix}=1\times4 - 2\times3 = -2$。已知$A=\begin{vmatrix}2x + 1&1\\nx - 1&2x\end{vmatrix}$（$n$为常数），$B=\begin{vmatrix}x + 1&x - 1\\x - 1&x + 1\end{vmatrix}$。
(1) 若$B = 4$，则$x$的值为______。
(2) 若代数式$A$中不含$x$的一次项，$x = 1$，求$A + B$的值。
(3) 若$A$中的$n$满足$2\times2^{n + 1}=2^{2}$，且$A = B + 2$，求$8x^{2}-4x + 3$的值。

答案： 【解】
(1)1
分析：$B=(x + 1)^{2}-(x - 1)^{2}=x^{2}+2x + 1-x^{2}+2x - 1 = 4x$，
因为$B = 4$，所以$4x = 4$，所以$x = 1$.
(2)$A = 2x(2x + 1)-(nx - 1)=4x^{2}+2x - nx + 1 = 4x^{2}+(2 - n)x + 1$，
因为代数式$A$中不含$x$的一次项，
所以$2 - n = 0$，所以$n = 2$，所以$A = 4x^{2}+1$.
当$x = 1$时，$A + B = 4\times1^{2}+1+4\times1 = 4 + 1+4 = 9$，
所以$A + B$的值为9.
(3)因为$2\times2^{n + 1}=2^{2}$，所以$2^{n + 2}=2^{2}$，所以$n + 2 = 2$，
所以$n = 0$，所以$A = 4x^{2}+2x + 1$.
因为$A = B + 2$，所以$4x^{2}+2x + 1 = 4x + 2$，
所以$4x^{2}-2x - 1 = 0$，
所以$4x^{2}-2x = 1$，所以$8x^{2}-4x = 2$，
所以$8x^{2}-4x + 3 = 2 + 3 = 5$，
所以$8x^{2}-4x + 3$的值为5.