《2025年真题圈七年级数学下册北师大版陕西专版》

9. 新定义问题(月考·21 - 22 西安高新一中)如果$a^{c}=b$，那么我们规定$(a,b)=c$。例如:因为$2^{3}=8$，所以$(2,8)=3$。
　(1)根据上述规定填空:
　$(3,27)=$________，$(4,1)=$________，$(2,0.25)=$________。
　(2)记$(3,5)=a$，$(3,6)=b$，$(3,30)=c$。求证:$a + b = c$。

答案：
(1)[解]因为$3^{3}=27$，所以$(3,27)=3$.因为$4^{0}=1$，所以$(4,1)=0$.因为$2^{-2}=\frac{1}{4}=0.25$，所以$(2,0.25)= - 2$.故答案为3，0，-2.
(2)[证明]因为$(3,5)=a$，$(3,6)=b$，$(3,30)=c$，所以$3^{a}=5$，$3^{b}=6$，$3^{c}=30$，所以$3^{a}\times3^{b}=5\times6 = 30 = 3^{c}$，所以$3^{a + b}=3^{c}$，所以$a + b = c$.

10. (期末·23 - 24 陕师大附中)下列各式运算正确的是(　　　)
　　
A. $(-2x + y)(-2x - y)=4x^{2}-y^{2}$　　B. $(12m^{4}-3m)\div3m = 4m^{3}$
　　
C. $(m + 2)^{2}=m^{2}+4$　　　　　　D. $-3(x - y)=-3x + y$

答案： A[解析]A. $(-2x + y)(-2x - y)=(-2x)^{2}-y^{2}=4x^{2}-y^{2}$，故A符合题意；B. $(12m^{4}-3m)\div3m = 4m^{3}-1$，故B不符合题意；C. $(m + 2)^{2}=m^{2}+4m + 4$，故C不符合题意；D. $-3(x - y)=-3x + 3y$，故D不符合题意.故选A.

11. (期中·22 - 23 陕师大附中)若$M=(x - 1)(x + 3)$，$N = x(x + 2)$，则$M$与$N$的大小关系为(　　　)
　　
A. $M＞N$　　　　　　　　　　　B. $M = N$
　　
C. $M＜N$　　　　　　　　　　　D. 由$x$的取值而定

答案： C[解析]$M=(x - 1)(x + 3)=x^{2}+2x - 3$，$N = x(x + 2)=x^{2}+2x$，因为$M - N=x^{2}+2x - 3-(x^{2}+2x)=x^{2}+2x - 3 - x^{2}-2x=-3＜0$，所以$M＜N$.故选C.

12. (期末·22 - 23 西工大附中)如图,四边形$ABCD$，$AEFG$均为长方形，点$E$，$G$分别在$AB$，$AD$上，$BE = DG = 2cm$，长方形$AEFG$的周长为$18cm$，
则图中阴影部分的面积为(　　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A. $18cm^{2}$　　
　B. $20cm^{2}$　　
　C. $22cm^{2}$　　
　D. $24cm^{2}$

答案： C[解析]因为长方形$AEFG$的周长为$18cm$，所以$EF + GF = 9cm$.设$EF = a cm$，$FG = b cm$，因为$BE = DG = 2cm$，所以$BC=(a + 2)cm$，$CD=(b + 2)cm$，所以阴影部分的面积为$(a + 2)\cdot(b + 2)-ab = ab + 2(a + b)+4 - ab = 2×9+4 = 22(cm^{2})$.故选C.

13. (期末·22 - 23 西安爱知中学)$6xy^{3}\cdot(-\frac{1}{2}x^{3}y^{2})=$________．

答案： $-3x^{4}y^{5}$

14. (月考·21 - 22 宝鸡高新一中)若$a - b = 1$，$ab = -2$，则$(a - 2)(b + 2)=$________．

答案： -4[解析]$(a - 2)(b + 2)=ab + 2a - 2b - 4 = ab + 2(a - b)-4=-2+2 - 4=-4$.故答案为-4.

15. (期中·22 - 23 西安滨河学校)已知$(x - 5)(x + a)=x^{2}+bx - 10$，则$b =$________．

答案： -3[解析]因为$(x - 5)(x + a)=x^{2}+(a - 5)x - 5a=x^{2}+bx - 10$，所以$a - 5 = b$，$-5a=-10$，解得$a = 2$，$b=-3$.故答案为-3.

16. (期末·23 - 24 西安高新三初)若多项式$mx^{3}+nx^{2}-61x - 36$能被$2x + 1$和$3x - 4$整除，则$m - n =$________．

答案： -10[解析]因为多项式$mx^{3}+nx^{2}-61x - 36$能被$2x + 1$和$3x - 4$整除，$(2x + 1)(3x - 4)$的最高次项的次数为2，所以可设多项式$mx^{3}+nx^{2}-61x - 36$的另一个因式为$tx + 9$，则$mx^{3}+nx^{2}-61x - 36=(2x + 1)(3x - 4)(tx + 9)$.因为$(2x + 1)(3x - 4)(tx + 9)=6tx^{3}+(54 - 5t)x^{2}-(4t + 45)x - 36$，所以$mx^{3}+nx^{2}-61x - 36=6tx^{3}+(54 - 5t)x^{2}-(4t + 45)x - 36$，所以$m = 6t$，$n = 54 - 5t$，$-61=-(4t + 45)$，解得$t = 4$，$m = 24$，$n = 34$，所以$m - n = 24 - 34=-10$.故答案为-10.

17. (期末·22 - 23 西安爱知中学)先化简,再求值:
$(2x + y)(2x - y)-(8x^{3}y - 2xy^{3}-x^{2}y^{2})\div2xy$，其中$x = -1$，$y = 2$．

答案： [解]原式$=4x^{2}-y^{2}-\left(4x^{2}-y^{2}-\frac{1}{2}xy\right)=4x^{2}-y^{2}-4x^{2}+y^{2}+\frac{1}{2}xy=\frac{1}{2}xy$.当$x=-1$，$y = 2$时，原式$=\frac{1}{2}\times(-1)\times2=-1$.