《2025年真题圈七年级数学下册北师大版陕西专版》

11.(月考·23 - 24西安高新一中创新班)如图,∠POQ = 90°,定长为a的线段端点A,B分别在射线OP,OQ上运动(点A,B不与点O重合),点C是AB的中点,且OC = AC.作△OAC关于直线OC对称的△OA'C,A'O交AB于点D,当△OBD是等腰三角形时,∠OBD的度数为________.
　　　　　

答案： $67.5^{\circ}$或$72^{\circ}$[解析]因为C为AB的中点，$OC = AC$，所以$OC = AC = BC$，所以$∠COA = ∠BAO$，$∠OBC = ∠BOC$. 由轴对称性质可得$∠COA = ∠COA'$，所以$∠COA = ∠COA'=∠BAO$. 设$∠COA = ∠COA'=∠BAO = x^{\circ}$，则$∠BCO = 180^{\circ}-∠OCA = ∠COA+∠BAO = 2x^{\circ}$，$∠A'OB = 90^{\circ}-2x^{\circ}$. 因为$∠AOB = 90^{\circ}$，所以$∠OBD = 180^{\circ}-90^{\circ}-x^{\circ}= 90^{\circ}-x^{\circ}$，$∠BDO = 180^{\circ}-∠OBD - ∠BOD = 180^{\circ}-(90^{\circ}-x^{\circ})-(90^{\circ}-2x^{\circ}) = 3x^{\circ}$. ①当$OB = OD$时，$∠DBO = ∠BDO$，所以$90^{\circ}-x^{\circ}= 3x^{\circ}$，解得$x = 22.5^{\circ}$，所以$∠OBD = 90^{\circ}-22.5^{\circ}= 67.5^{\circ}$；②当$BD = OD$时，$∠OBD = ∠DOB$，所以$90^{\circ}-x^{\circ}= 90^{\circ}-2x^{\circ}$，解得$x = 0$(舍去)，所以此情况不存在；③当$OB = DB$时，$∠BDO = ∠DOB$，所以$3x^{\circ}= 90^{\circ}-2x^{\circ}$，解得$x = 18^{\circ}$，所以$∠OBD = 90^{\circ}-18^{\circ}= 72^{\circ}$. 综上，$∠OBD$的度数为$67.5^{\circ}$或$72^{\circ}$. 故答案为$67.5^{\circ}$或$72^{\circ}$.

12.如图,△ABE是等腰三角形,AB = AE,过点B作BC⊥AE于点C,BC = AC,在BC上截取CD = CE,连接AD,DE,并延长AD交BE于点P.试说明AD是∠BAE的平分线.(提示:等腰三角形底边上的高也是其顶角的平分线)
　　　　　

答案： [解]因为$BC⊥AE$，所以$∠BCE = ∠ACD = 90^{\circ}$. 在$\triangle BCE$和$\triangle ACD$中，$\begin{cases}BC = AC,\\∠BCE = ∠ACD,\\CE = CD,\end{cases}$所以$\triangle BCE\cong\triangle ACD(SAS)$，所以$∠EBC = ∠DAC$. 因为$∠BDP = ∠ADC$，所以$∠BPD = ∠DCA = 90^{\circ}$，故$AP⊥BE$. 因为$\triangle ABE$是等腰三角形，$AB = AE$，所以根据“三线合一”可知AD是$∠BAE$的平分线.

13.(期末·23 - 24宝鸡渭滨区)如图,在△ABC中,AB = AC,BD平分∠ABC交AC于点D,过点A作AE//BC交BD的延长线于点E.
　　(1)若∠BAC = 40°,求∠E的度数.
　　(2)若F是DE上的一点,且AF = AD,判断BD与EF的数量关系,并说明理由.
　　　　　

答案：
[解]
(1)因为$AB = AC$，所以$∠ABC = ∠ACB$. 因为$∠BAC = 40^{\circ}$，所以$∠ABC=\frac{1}{2}(180^{\circ}-∠BAC)=70^{\circ}$. 因为BD平分$∠ABC$，所以$∠CBD=\frac{1}{2}∠ABC = 35^{\circ}$. 因为$AE// BC$，所以$∠E = ∠CBD = 35^{\circ}$.
(2)结论：$BD = EF$. 理由：因为BD平分$∠ABC$，所以$∠CBD = ∠ABD$. 因为$AE// BC$，所以$∠AEF = ∠CBD$，所以$∠ABD = ∠AEF$. 过点A作$AM⊥BE$，如图，所以$∠AME = ∠AMB$. 因为$AM = AM$，所以$\triangle AME\cong\triangle AMB(AAS)$，所以$AB = AE$. 因为$AF = AD$，所以$∠ADF = ∠AFD$. 因为$∠ADB = 180^{\circ}-∠ADF$，$∠AFE = 180^{\circ}-∠AFD$，所以$∠ADB = ∠AFE$. 在$\triangle ABD$和$\triangle AEF$中，$∠ADB = ∠AFE$，$∠ABD = ∠AEF$，$AB = AE$，所以$\triangle ABD\cong\triangle AEF(AAS)$，所以$BD = EF$.