《2025年真题圈七年级数学下册北师大版陕西专版》

26.探究性问题（期中·22 - 23西安滨河学校）（10分）
初步探索：
（1）如图①，在四边形ABCD中，AB = AD，∠B = ∠ADC = 90°，E，F分别是边BC，CD上的点，且EF = BE + FD，探究图①中∠BAE，∠FAD，∠EAF之间的数量关系.
小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG = BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是________________________.
灵活运用：
（2）如图②，若在四边形ABCD中，AB = AD，∠B + ∠D = 180°，E，F分别是BC，CD上的点，且EF = BE + FD，上述结论是否仍然成立？请说明理由.
拓展延伸：
（3）如图③，已知在四边形ABCD中，∠ABC + ∠ADC = 180°，AB = AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，仍然满足EF = BE + FD，请写出∠EAF与∠DAB之间的数量关系，并给出证明过程.

答案：
[解]
(1)∠BAE + ∠FAD = ∠EAF
分析：根据SAS可判定△ABE≌△ADG，进而得出∠BAE = ∠DAG，AE = AG.
再根据SSS可判定△AEF≌△AGF，可得出∠EAF = ∠GAF = ∠DAG + ∠FAD = ∠BAE + ∠FAD.
(2)仍然成立.理由：
如图①，延长FD到点G，使DG = BE，连接AG.
因为∠B + ∠ADF = 180°，∠ADG + ∠ADF = 180°，
所以∠B = ∠ADG.
又因为AB = AD，所以△ABE≌△ADG（SAS），
所以∠BAE = ∠DAG，AE = AG.
又因为EF = BE + FD = DG + FD = GF，AF = AF，
所以△AEF≌△AGF（SSS），
所以∠EAF = ∠GAF = ∠DAG + ∠FAD = ∠BAE + ∠FAD.

(3)∠EAF = 180° - $\frac{1}{2}$∠DAB.
证明：如图②，在DC的延长线上取一点G，使得DG = BE，连接AG.
因为∠ABC + ∠ADC = 180°，∠ABC + ∠ABE = 180°，
所以∠ADC = ∠ABE.
又因为AD = AB，DG = BE，
所以△ADG≌△ABE（SAS），
所以AG = AE，∠DAG = ∠BAE.
又因为EF = BE + FD = DG + FD = GF，AF = AF，
所以△AEF≌△AGF（SSS），所以∠FAE = ∠FAG.
因为∠FAE + ∠FAG + ∠GAE = 360°，
所以2∠FAE + (∠GAB + ∠BAE) = 360°，
所以2∠FAE + (∠GAB + ∠DAG) = 360°，
即2∠FAE + ∠DAB = 360°，
所以∠EAF = 180° - $\frac{1}{2}$∠DAB.